Номер 7.52, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.52 Торговая фирма получила две партии некоторого товара. Если продавать весь товар по цене 80 р. за 1 кг, то выручка от продаж будет на 15 % ниже выручки, которую фирма получила бы, продав первую партию по названной цене, а вторую — по цене, превышающей её на 25 %. Какую часть (по массе) составляет первая партия товара в общем количестве товара этих двух партий?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $m_1$ — масса первой партии товара в кг, а $m_2$ — масса второй партии товара в кг. Тогда общая масса обеих партий составляет $(m_1 + m_2)$ кг.

Рассмотрим два сценария, описанных в задаче.

Сценарий 1: Весь товар продается по цене 80 р. за 1 кг. Выручка от продажи всего товара ($V_1$) в этом случае будет равна произведению общей массы на цену:

$V_1 = 80 \cdot (m_1 + m_2)$

Сценарий 2: Первая партия продается по цене 80 р. за 1 кг, а вторая — по цене, превышающей ее на 25%. Найдем цену продажи второй партии. Цена на 25% выше, значит, она составляет $100\% + 25\% = 125\%$ от базовой цены. Цена второй партии: $P_2 = 80 \cdot (1 + 0,25) = 80 \cdot 1,25 = 100$ р. за 1 кг. Выручка ($V_2$) в этом сценарии складывается из выручки от продажи каждой партии отдельно:

$V_2 = 80 \cdot m_1 + 100 \cdot m_2$

По условию задачи, выручка в первом сценарии ($V_1$) на 15% ниже выручки во втором сценарии ($V_2$). Это означает, что $V_1$ составляет $100\% - 15\% = 85\%$ от $V_2$. Математически это можно записать так:

$V_1 = 0,85 \cdot V_2$

Теперь подставим выражения для $V_1$ и $V_2$ в это уравнение:

$80 \cdot (m_1 + m_2) = 0,85 \cdot (80 \cdot m_1 + 100 \cdot m_2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$80m_1 + 80m_2 = 0,85 \cdot 80m_1 + 0,85 \cdot 100m_2$

$80m_1 + 80m_2 = 68m_1 + 85m_2$

Сгруппируем слагаемые с $m_1$ в левой части уравнения, а слагаемые с $m_2$ — в правой:

$80m_1 - 68m_1 = 85m_2 - 80m_2$

$12m_1 = 5m_2$

Это соотношение показывает связь между массами двух партий. Нам нужно найти, какую часть (по массе) составляет первая партия в общем количестве товара. Искомая величина — это отношение массы первой партии к общей массе:

$\frac{m_1}{m_1 + m_2}$

Из соотношения $12m_1 = 5m_2$ выразим $m_2$ через $m_1$:

$m_2 = \frac{12}{5}m_1$

Подставим это выражение в знаменатель искомой дроби:

$\frac{m_1}{m_1 + m_2} = \frac{m_1}{m_1 + \frac{12}{5}m_1}$

Вынесем $m_1$ в знаменателе за скобки и сократим дробь:

$\frac{m_1}{m_1(1 + \frac{12}{5})} = \frac{1}{1 + \frac{12}{5}}$

Теперь вычислим значение в знаменателе:

$1 + \frac{12}{5} = \frac{5}{5} + \frac{12}{5} = \frac{17}{5}$

Тогда искомая часть равна:

$\frac{1}{\frac{17}{5}} = 1 \cdot \frac{5}{17} = \frac{5}{17}$

Таким образом, первая партия составляет $\frac{5}{17}$ от общего количества товара.

Ответ: $\frac{5}{17}$.