Номер 7.53, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.53 При смешивании 40%-ного раствора соли с 10%-ным раствором получили 800 г раствора с концентрацией соли 21,25%. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — масса 40%-ного раствора соли в граммах, а $y$ — масса 10%-ного раствора соли в граммах.

Составление уравнений

Первое уравнение составим исходя из общей массы полученного раствора. По условию, при смешивании двух растворов получили 800 г нового раствора. Следовательно, сумма масс исходных растворов равна 800 г:
$x + y = 800$

Второе уравнение составим исходя из массы соли в растворах. Масса соли в первом (40%-ном) растворе составляет $0,40x$ г. Масса соли во втором (10%-ном) растворе составляет $0,10y$ г. Масса соли в конечном (21,25%-ном) растворе составляет $0,2125 \times 800$ г.

Вычислим массу соли в конечном растворе:
$0,2125 \times 800 = 170$ г.

Так как масса соли в итоговом растворе равна сумме масс соли в исходных растворах, получаем второе уравнение:
$0,4x + 0,1y = 170$

Таким образом, получаем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x + y = 800 \\ 0,4x + 0,1y = 170 \end{cases}$

Решение системы уравнений

Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 800 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$0,4x + 0,1(800 - x) = 170$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:
$0,4x + 80 - 0,1x = 170$
$0,3x = 170 - 80$
$0,3x = 90$
$x = \frac{90}{0,3}$
$x = 300$

Таким образом, масса 40%-ного раствора соли составляет 300 г.

Теперь найдем массу второго раствора, подставив значение $x$ в выражение для $y$:
$y = 800 - x = 800 - 300 = 500$

Следовательно, масса 10%-ного раствора соли составляет 500 г.

Проверка

Проверим общую массу: $300 \text{ г} + 500 \text{ г} = 800 \text{ г}$. Верно.
Проверим массу соли: $(0,40 \times 300) + (0,10 \times 500) = 120 + 50 = 170$ г.
Проверим концентрацию конечного раствора: $\frac{170}{800} \times 100\% = \frac{17}{80} \times 100\% = 21,25\%$. Верно.

Ответ: было взято 300 г 40%-ного раствора и 500 г 10%-ного раствора.