Номер 3, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3 Решите графически:

а) систему уравнений

$\begin{cases} x^2 - y = 3, \\ x + y = 3; \end{cases}$

б) систему неравенств

$\begin{cases} x^2 - y \leq 3, \\ x + y \leq 3. \end{cases}$

а) систему уравнений

Для того чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики функций, соответствующих каждому уравнению, в одной системе координат. Координаты точек пересечения этих графиков и будут решением системы.

1. Преобразуем первое уравнение $x^2 - y = 3$ к виду функции $y(x)$. Получим $y = x^2 - 3$.
Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -3)$. Построим её по нескольким точкам:
- при $x=0$, $y=-3$;
- при $x=1$, $y=1^2-3=-2$;
- при $x=-1$, $y=(-1)^2-3=-2$;
- при $x=2$, $y=2^2-3=1$;
- при $x=-2$, $y=(-2)^2-3=1$;
- при $x=3$, $y=3^2-3=6$;
- при $x=-3$, $y=(-3)^2-3=6$.

2. Преобразуем второе уравнение $x + y = 3$ к виду функции $y(x)$. Получим $y = 3 - x$.
Графиком этой функции является прямая. Для её построения достаточно двух точек:
- при $x=0$, $y=3$;
- при $y=0$, $x=3$.
Прямая проходит через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$.

3. Построим параболу $y = x^2 - 3$ и прямую $y = 3 - x$ на одной координатной плоскости.

4. Графики пересекаются в двух точках. Координаты этих точек являются решением системы. Из построенных графиков видно, что это точки с координатами $(-3, 6)$ и $(2, 1)$.

Ответ: $(-3, 6), (2, 1)$.

б) систему неравенств

Решением системы неравенств является область на координатной плоскости, точки которой удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Границами этой области служат графики, построенные в предыдущем пункте.

1. Первое неравенство: $x^2 - y \le 3$.
Преобразуем его: $-y \le 3 - x^2$, что эквивалентно $y \ge x^2 - 3$.
Этому неравенству удовлетворяют все точки, лежащие на параболе $y = x^2 - 3$ и выше неё.

2. Второе неравенство: $x + y \le 3$.
Преобразуем его: $y \le 3 - x$.
Этому неравенству удовлетворяют все точки, лежащие на прямой $y = 3 - x$ и ниже неё.

3. Решением системы является пересечение этих двух областей: множество точек, которые находятся одновременно и выше (или на) параболы, и ниже (или на) прямой.

Таким образом, решением системы неравенств является замкнутая область, ограниченная снизу дугой параболы $y = x^2 - 3$ и сверху отрезком прямой $y = 3 - x$. Границы области, то есть сама дуга параболы и отрезок прямой, включаются в решение, так как неравенства нестрогие.

Ответ: Множество точек $(x, y)$ координатной плоскости, удовлетворяющих условиям $y \ge x^2 - 3$ и $y \le 3 - x$ одновременно. Это область, заключенная между параболой $y = x^2 - 3$ и прямой $y = 3 - x$, включая сами границы.