Номер 6, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6 Решите методом замены переменных систему уравнений

$\begin{cases} (xy)^2 - 7xy + 10 = 0, \\ 3x + y = 7. \end{cases}$

Данная система уравнений:$\begin{cases}(xy)^2 - 7xy + 10 = 0, \\3x + y = 7.\end{cases}$

Для решения этой системы используем метод замены переменных. Рассмотрим первое уравнение. Введем новую переменную $t = xy$. Тогда первое уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 7t + 10 = 0$

Найдем корни этого уравнения, используя, например, теорему Виета: сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Отсюда легко подобрать корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 5$.

В качестве альтернативы, можно решить через дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.Корни: $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}$, что дает $t_1 = 2$ и $t_2 = 5$.

Теперь вернемся к исходным переменным. Решение исходной системы сводится к решению двух независимых систем уравнений, так как мы получили два возможных значения для произведения $xy$:

1) $\begin{cases} xy = 2, \\ 3x + y = 7. \end{cases}$

2) $\begin{cases} xy = 5, \\ 3x + y = 7. \end{cases}$

Рассмотрим первую систему:

$\begin{cases} xy = 2, \\ 3x + y = 7. \end{cases}$

Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 7 - 3x$. Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x(7 - 3x) = 2$

$7x - 3x^2 = 2$

$3x^2 - 7x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $x$. Дискриминант:$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$.

$x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 5}{6}$

$x_1 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = 7 - 3x$:

При $x_1 = \frac{1}{3}$, $y_1 = 7 - 3 \cdot \frac{1}{3} = 7 - 1 = 6$.

При $x_2 = 2$, $y_2 = 7 - 3 \cdot 2 = 7 - 6 = 1$.

Таким образом, из первой системы мы получили два решения: $(\frac{1}{3}; 6)$ и $(2; 1)$.

Рассмотрим вторую систему:

$\begin{cases} xy = 5, \\ 3x + y = 7. \end{cases}$

Аналогично выразим $y$ из второго уравнения: $y = 7 - 3x$. Подставим в первое уравнение:

$x(7 - 3x) = 5$

$7x - 3x^2 = 5$

$3x^2 - 7x + 5 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 49 - 60 = -11$

Так как дискриминант $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, вторая система не имеет решений в действительных числах.

Объединив результаты, получаем, что исходная система имеет два решения.

Ответ: $(\frac{1}{3}; 6)$, $(2; 1)$.