Номер 7, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7 Решите систему уравнений

$\begin{cases} (x+2y)^2 - 2(x-2y) = 11, \\ 5(x+2y) + x - 2y = -18. \end{cases}$

Для решения данной системы уравнений удобно использовать метод введения новых переменных. Заметим, что в обоих уравнениях присутствуют одинаковые выражения $x + 2y$ и $x - 2y$.

Введем новые переменные. Пусть $a = x + 2y$ и $b = x - 2y$.

Подставим эти переменные в исходную систему:

$ \begin{cases} a^2 - 2b = 11, \\ 5a + b = -18. \end{cases} $

Теперь решим полученную систему относительно переменных $a$ и $b$. Из второго уравнения выразим $b$:

$b = -18 - 5a$

Подставим это выражение для $b$ в первое уравнение системы:

$a^2 - 2(-18 - 5a) = 11$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $a$:

$a^2 + 36 + 10a = 11$

$a^2 + 10a + 36 - 11 = 0$

$a^2 + 10a + 25 = 0$

Левая часть этого уравнения является полным квадратом:

$(a + 5)^2 = 0$

Отсюда следует, что:

$a + 5 = 0 \implies a = -5$

Теперь найдем значение $b$, подставив найденное значение $a = -5$ в выражение $b = -18 - 5a$:

$b = -18 - 5(-5) = -18 + 25 = 7$

Мы получили значения для наших новых переменных: $a = -5$ и $b = 7$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$, выполнив обратную замену:

$ \begin{cases} x + 2y = a, \\ x - 2y = b. \end{cases} $

Подставляем найденные значения $a$ и $b$:

$ \begin{cases} x + 2y = -5, \\ x - 2y = 7. \end{cases} $

Для решения этой системы линейных уравнений сложим первое уравнение со вторым. Это позволит исключить переменную $y$:

$(x + 2y) + (x - 2y) = -5 + 7$

$2x = 2$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x = 1$ в любое из уравнений системы (например, в первое: $x + 2y = -5$) для нахождения $y$:

$1 + 2y = -5$

$2y = -5 - 1$

$2y = -6$

$y = -3$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(1; -3)$.

Ответ: $(1; -3)$