Номер 4, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4 Решите методом подстановки систему уравнений $ \begin{cases} x^2 - 2y^2 = 28, \\ x + y = 4. \end{cases} $

Для решения данной системы уравнений методом подстановки необходимо выразить одну переменную через другую из одного из уравнений, а затем подставить полученное выражение в другое уравнение системы.

Дана система:

$ \begin{cases} x^2 - 2y^2 = 28, \\ x + y = 4. \end{cases} $

Из второго, более простого (линейного) уравнения, выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 4 - y$

Теперь подставим это выражение вместо $x$ в первое уравнение системы:

$(4 - y)^2 - 2y^2 = 28$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(16 - 8y + y^2) - 2y^2 = 28$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 2y^2 - 8y + 16 - 28 = 0$

$-y^2 - 8y - 12 = 0$

Для удобства дальнейших вычислений умножим обе части уравнения на $-1$:

$y^2 + 8y + 12 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $y$. Решим его с помощью дискриминанта. Для уравнения вида $ay^2 + by + c = 0$, дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a=1$, $b=8$, $c=12$.

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 4}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 4}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Теперь, зная значения $y$, найдем соответствующие значения $x$, используя ранее полученное выражение $x = 4 - y$.

1. При $y_1 = -2$:

$x_1 = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6$

Таким образом, первая пара решений: $(6; -2)$.

2. При $y_2 = -6$:

$x_2 = 4 - (-6) = 4 + 6 = 10$

Таким образом, вторая пара решений: $(10; -6)$.

Проверим найденные решения, подставив их в исходную систему уравнений.

Для пары $(6; -2)$:

$ \begin{cases} 6^2 - 2(-2)^2 = 36 - 2(4) = 36 - 8 = 28 \\ 6 + (-2) = 4 \end{cases} $

Оба равенства верны.

Для пары $(10; -6)$:

$ \begin{cases} 10^2 - 2(-6)^2 = 100 - 2(36) = 100 - 72 = 28 \\ 10 + (-6) = 4 \end{cases} $

Оба равенства верны.

Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: $(6; -2), (10; -6)$.