Номер 9, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

9 Два слесаря выполняют некоторую работу. После 45 мин совместного труда первый слесарь был переведён на другую работу, и второй закончил оставшуюся часть работы за 2 ч 15 мин. За какое время мог бы выполнить всю работу каждый слесарь в отдельности, если известно, что второму на это понадобится на 1 ч больше, чем первому?

Обозначим всю работу как 1. Пусть время, за которое первый слесарь выполняет всю работу в одиночку, равно $x$ часов. Согласно условию, второму слесарю на выполнение всей работы требуется на 1 час больше, то есть $(x+1)$ часов.

Тогда производительность (скорость работы) первого слесаря составляет $\frac{1}{x}$ работы в час, а производительность второго — $\frac{1}{x+1}$ работы в час. Их совместная производительность равна $\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}\right)$ работы в час.

Сначала оба слесаря работали вместе 45 минут, что составляет $\frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ часа. За это время они выполнили часть работы, равную: $W_1 = \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}\right) \cdot \frac{3}{4}$

Затем второй слесарь один заканчивал оставшуюся работу в течение 2 часов 15 минут, что составляет $2 + \frac{15}{60} = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ часа. За это время он выполнил часть работы, равную: $W_2 = \frac{1}{x+1} \cdot \frac{9}{4}$

Сумма выполненных частей работы равна всей работе, то есть 1. Составим и решим уравнение: $\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}\right) \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{x+1} \cdot \frac{9}{4} = 1$

Для удобства решения умножим обе части уравнения на 4: $3 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}\right) + \frac{9}{x+1} = 4$

Раскроем скобки и сложим дроби с одинаковым знаменателем: $\frac{3}{x} + \frac{3}{x+1} + \frac{9}{x+1} = 4$
$\frac{3}{x} + \frac{12}{x+1} = 4$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+1)$: $\frac{3(x+1) + 12x}{x(x+1)} = 4$

При условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -1$, умножим обе части на $x(x+1)$: $3(x+1) + 12x = 4x(x+1)$
$3x + 3 + 12x = 4x^2 + 4x$
$15x + 3 = 4x^2 + 4x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $4x^2 + 4x - 15x - 3 = 0$
$4x^2 - 11x - 3 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. $D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -0.25$

Корень $x_2 = -0.25$ не имеет физического смысла, так как время не может быть отрицательным. Следовательно, время, за которое первый слесарь может выполнить всю работу, равно $x = 3$ часа.

Тогда время, необходимое второму слесарю, составит: $x+1 = 3+1 = 4$ часа.

Ответ: первый слесарь мог бы выполнить всю работу за 3 часа, а второй — за 4 часа.