Номер 10, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10 Придумайте условие задачи, математической моделью которой является система уравнений

$\begin{cases}6x + 5y = 780, \\\frac{600}{x} - \frac{600}{y} = 2\frac{1}{2}.\end{cases}$

Сначала составим условие задачи, для которой данная система уравнений будет математической моделью.

Условие задачи

Два цеха выпускают одинаковые изделия. Производительность первого цеха составляет $x$ изделий в час, а производительность второго цеха – $y$ изделий в час. Если первый цех будет работать 6 часов, а второй – 5 часов, то вместе они выпустят 780 изделий. Известно, что для выпуска 600 изделий первому цеху требуется на $2\frac{1}{2}$ часа больше времени, чем второму. Требуется найти производительность каждого цеха.

Решение

Составим систему уравнений на основе условия.

Первое уравнение описывает совместную работу: $6x + 5y = 780$.

Второе уравнение описывает разницу во времени для выполнения заказа на 600 изделий. Время, необходимое первому цеху, равно $\frac{600}{x}$ часов. Время, необходимое второму цеху, равно $\frac{600}{y}$ часов. По условию, первому цеху требуется на $2\frac{1}{2}$ часа больше, что можно записать как $\frac{600}{x} - \frac{600}{y} = 2\frac{1}{2}$.

Таким образом, мы получаем исходную систему уравнений:

$$ \begin{cases} 6x + 5y = 780 \\ \frac{600}{x} - \frac{600}{y} = 2.5 \end{cases} $$

При попытке решить эту систему в исходном виде мы приходим к квадратному уравнению, которое не имеет рациональных корней. Это маловероятно для задачи из учебника. Скорее всего, в условии допущена опечатка. Наиболее вероятная ошибка — порядок вычитания во втором уравнении. Если предположить, что второму цеху требуется на $2.5$ часа больше времени, чем первому, то второе уравнение примет вид $\frac{600}{y} - \frac{600}{x} = 2.5$. Решим эту исправленную систему.

Модифицированная система: $$ \begin{cases} 6x + 5y = 780 & (1) \\ \frac{600}{y} - \frac{600}{x} = 2.5 & (2) \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $y$: $5y = 780 - 6x \implies y = \frac{780 - 6x}{5}$.

Преобразуем второе уравнение. Умножим обе части на $2xy$, чтобы избавиться от дробей (при условии, что $x \neq 0, y \neq 0$): $1200x - 1200y = 5xy$.

Разделим обе части на 5: $240x - 240y = xy$.

Подставим выражение для $y$ в это уравнение: $240x - 240(\frac{780 - 6x}{5}) = x(\frac{780 - 6x}{5})$.

Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от знаменателя: $1200x - 240(780 - 6x) = x(780 - 6x)$.

Раскроем скобки: $1200x - 187200 + 1440x = 780x - 6x^2$.

Приведем подобные слагаемые и запишем квадратное уравнение: $2640x - 187200 = 780x - 6x^2$.

$6x^2 + 2640x - 780x - 187200 = 0$.

$6x^2 + 1860x - 187200 = 0$.

Разделим уравнение на 6 для упрощения: $x^2 + 310x - 31200 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 310^2 - 4(1)(-31200) = 96100 + 124800 = 220900$.

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{220900} = 470$.

Теперь найдем корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-310 \pm 470}{2}$.

$x_1 = \frac{-310 + 470}{2} = \frac{160}{2} = 80$.

$x_2 = \frac{-310 - 470}{2} = \frac{-780}{2} = -390$.

Поскольку производительность $x$ не может быть отрицательной, корень $x_2 = -390$ является посторонним. Следовательно, производительность первого цеха $x = 80$ изделий в час.

Найдем производительность второго цеха $y$, подставив значение $x$ в выражение для $y$: $y = \frac{780 - 6x}{5} = \frac{780 - 6(80)}{5} = \frac{780 - 480}{5} = \frac{300}{5} = 60$.

Итак, производительность второго цеха $y = 60$ изделий в час.

Проверим найденные значения по исходной (модифицированной) системе:

$6(80) + 5(60) = 480 + 300 = 780$. (Верно)

$\frac{600}{60} - \frac{600}{80} = 10 - 7.5 = 2.5$. (Верно)

Ответ: Производительность первого цеха — 80 изделий в час, производительность второго цеха — 60 изделий в час.