Номер 7, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Решите систему уравнений

$ \begin{cases} (x+y)^2 - 3(x-3y) = 22, \\ 4(x+y) + x-3y = 21. \end{cases} $

Данная система уравнений:

$$ \begin{cases} (x + y)^2 - 3(x - 3y) = 22, \\ 4(x + y) + x - 3y = 21. \end{cases} $$

Для упрощения решения введем замену переменных. Заметим, что в обоих уравнениях присутствуют выражения $(x+y)$ и $(x-3y)$.

Пусть $a = x + y$ и $b = x - 3y$.

Подставив новые переменные в исходную систему, получим:

$$ \begin{cases} a^2 - 3b = 22, \\ 4a + b = 21. \end{cases} $$

Теперь решим эту систему относительно $a$ и $b$. Из второго уравнения выразим $b$ через $a$:

$b = 21 - 4a$

Подставим это выражение для $b$ в первое уравнение системы:

$a^2 - 3(21 - 4a) = 22$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$a^2 - 63 + 12a = 22$

$a^2 + 12a - 85 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней $a_1 + a_2 = -12$, а их произведение $a_1 \cdot a_2 = -85$. Подбором находим корни:

$a_1 = 5$ и $a_2 = -17$.

Теперь для каждого найденного значения $a$ найдем соответствующее значение $b$, используя формулу $b = 21 - 4a$.

1. Если $a_1 = 5$, то $b_1 = 21 - 4a_1 = 21 - 4 \cdot 5 = 21 - 20 = 1$.

2. Если $a_2 = -17$, то $b_2 = 21 - 4a_2 = 21 - 4 \cdot (-17) = 21 + 68 = 89$.

Мы получили две пары значений для $(a, b)$: $(5; 1)$ и $(-17; 89)$. Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждой пары, чтобы найти $x$ и $y$.

Случай 1: $a=5$ и $b=1$.

Получаем систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 5, \\ x - 3y = 1. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого: $(x + y) - (x - 3y) = 5 - 1$, что дает $4y = 4$, откуда $y = 1$.

Подставим значение $y=1$ в первое уравнение: $x + 1 = 5$, откуда $x = 4$.

Первое решение системы: $(4; 1)$.

Случай 2: $a=-17$ и $b=89$.

Получаем систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = -17, \\ x - 3y = 89. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого: $(x + y) - (x - 3y) = -17 - 89$, что дает $4y = -106$, откуда $y = -\frac{106}{4} = -\frac{53}{2}$.

Подставим значение $y = -\frac{53}{2}$ в первое уравнение: $x + (-\frac{53}{2}) = -17$.

Отсюда $x = -17 + \frac{53}{2} = -\frac{34}{2} + \frac{53}{2} = \frac{19}{2}$.

Второе решение системы: $(\frac{19}{2}; -\frac{53}{2})$.

Ответ: $(4; 1), (\frac{19}{2}; -\frac{53}{2})$.