Номер 8.2, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.2 a) $y = x^2 + 8;$

б) $y = \frac{4x - 1}{5};$

В) $y = x^3 - 1;$

Г) $y = \frac{8x + 3}{7}.$

а) Для нахождения функции, обратной к $y = x^2 + 8$, необходимо поменять местами переменные $x$ и $y$, а затем выразить $y$ из полученного уравнения.

Меняем переменные местами: $x = y^2 + 8$.

Теперь выражаем $y$:

$y^2 = x - 8$

$y = \pm\sqrt{x - 8}$

Исходная функция $y = x^2 + 8$ не является взаимно-однозначной на всей числовой оси, поэтому обратное к ней соотношение не является функцией. Полученное выражение $y = \pm\sqrt{x - 8}$ задает две ветви, соответствующие двум возможным ограничениям области определения исходной функции (например, $x \ge 0$ или $x \le 0$). Область определения для обратного соотношения: $x - 8 \ge 0$, то есть $x \ge 8$.

Ответ: $y = \pm\sqrt{x - 8}$.

б) Дана функция $y = \frac{4x - 1}{5}$. Чтобы найти обратную функцию, поменяем местами $x$ и $y$.

$x = \frac{4y - 1}{5}$

Теперь решим это уравнение относительно $y$.

Умножим обе части на 5:

$5x = 4y - 1$

Прибавим 1 к обеим частям:

$5x + 1 = 4y$

Разделим обе части на 4:

$y = \frac{5x + 1}{4}$

Ответ: $y = \frac{5x + 1}{4}$.

в) Дана функция $y = x^3 - 1$. Она является строго монотонной на всей области определения, поэтому для нее существует единственная обратная функция. Найдем ее, поменяв местами $x$ и $y$.

$x = y^3 - 1$

Решим уравнение относительно $y$.

Прибавим 1 к обеим частям:

$y^3 = x + 1$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$y = \sqrt[3]{x + 1}$

Ответ: $y = \sqrt[3]{x + 1}$.

г) Дана функция $y = \frac{8x + 3}{7}$. Это линейная функция, которая является монотонной. Найдем обратную функцию, поменяв местами $x$ и $y$.

$x = \frac{8y + 3}{7}$

Теперь решим это уравнение относительно $y$.

Умножим обе части на 7:

$7x = 8y + 3$

Вычтем 3 из обеих частей:

$7x - 3 = 8y$

Разделим обе части на 8:

$y = \frac{7x - 3}{8}$

Ответ: $y = \frac{7x - 3}{8}$.