Номер 6, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6 Решите методом замены переменных систему уравнений

$$\begin{cases} (xy)^2 - 3xy = 18, \\ 4x + y = 1. \end{cases}$$

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (xy)^2 - 3xy = 18, \\ 4x + y = 1. \end{cases} $

Для решения этой системы методом замены переменных, обратим внимание на первое уравнение. Оно содержит только выражение $xy$. Сделаем замену: пусть $t = xy$.

Тогда первое уравнение примет вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:

$t^2 - 3t = 18$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$t^2 - 3t - 18 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а их произведение равно $-18$. Подбором находим корни:

$t_1 = 6$ и $t_2 = -3$.

Теперь необходимо вернуться к исходным переменным $x$ и $y$. Для этого рассмотрим два случая, соответствующие найденным значениям $t$.

Случай 1: $xy = 6$

Из второго уравнения исходной системы ($4x + y = 1$) выразим $y$ через $x$:

$y = 1 - 4x$

Подставим это выражение в уравнение $xy = 6$:

$x(1 - 4x) = 6$

$x - 4x^2 = 6$

$4x^2 - x + 6 = 0$

Найдем дискриминант $D$ полученного квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 1 - 96 = -95$

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, в этом случае система уравнений не имеет действительных решений.

Случай 2: $xy = -3$

Снова используем выражение $y = 1 - 4x$ и подставим его в уравнение $xy = -3$:

$x(1 - 4x) = -3$

$x - 4x^2 = -3$

$4x^2 - x - 3 = 0$

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 + 7}{8} = \frac{8}{8} = 1$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 - 7}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$, используя формулу $y = 1 - 4x$.

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = 1 - 4(1) = 1 - 4 = -3$

Таким образом, первая пара решений: $(1, -3)$.

Для $x_2 = -\frac{3}{4}$:

$y_2 = 1 - 4\left(-\frac{3}{4}\right) = 1 + 3 = 4$

Таким образом, вторая пара решений: $(-\frac{3}{4}, 4)$.

Проверим найденные решения, подставив их в исходную систему.

Для $(1, -3)$:

$(1 \cdot (-3))^2 - 3(1 \cdot (-3)) = (-3)^2 - 3(-3) = 9 + 9 = 18$.

$4(1) + (-3) = 4 - 3 = 1$.

Верно.

Для $(-\frac{3}{4}, 4)$:

$((-\frac{3}{4}) \cdot 4)^2 - 3((-\frac{3}{4}) \cdot 4) = (-3)^2 - 3(-3) = 9 + 9 = 18$.

$4(-\frac{3}{4}) + 4 = -3 + 4 = 1$.

Верно.

Ответ: $(1, -3)$, $(-\frac{3}{4}, 4)$.