Номер 8, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8 Решите графически систему уравнений

$$\begin{cases} (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25, \\ |x - 2| - y = 6. \end{cases}$$

Для решения системы уравнений графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точки их пересечения. Координаты этих точек и будут являться решениями системы.

Данное уравнение является уравнением окружности в стандартном виде $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Для нашего уравнения центр окружности находится в точке с координатами $C(2; -1)$, а её радиус равен $R = \sqrt{25} = 5$.

Сначала выразим $y$ из уравнения, чтобы получить явный вид функции: $y = |x - 2| - 6$.

График этой функции получается из графика простейшей функции с модулем $y = |x|$ путем двух последовательных смещений: на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс и на 6 единиц вниз вдоль оси ординат. Вершина полученного "уголка" будет находиться в точке $(2; -6)$.

Можно также раскрыть модуль, чтобы представить график в виде двух лучей, исходящих из одной точки:

• При $x - 2 \ge 0$, то есть при $x \ge 2$, уравнение принимает вид $y = (x - 2) - 6$, что равносильно $y = x - 8$.
• При $x - 2 < 0$, то есть при $x < 2$, уравнение принимает вид $y = -(x - 2) - 6$, что равносильно $y = -x - 4$.

Таким образом, график второго уравнения — это объединение двух лучей с общим началом в точке $(2; -6)$.

Построим оба графика в одной декартовой системе координат. Для точного построения найдем несколько ключевых точек для каждого графика.

• Ключевые точки окружности с центром в $C(2; -1)$ и радиусом $R=5$:
  • Верхняя точка: $(2; -1+5) = (2; 4)$
  • Нижняя точка: $(2; -1-5) = (2; -6)$
  • Правая точка: $(2+5; -1) = (7; -1)$
  • Левая точка: $(2-5; -1) = (-3; -1)$
• Ключевые точки для графика $y = |x - 2| - 6$:
  • Вершина: $(2; -6)$
  • Точка на правом луче ($y=x-8$): пусть $x=7$, тогда $y=7-8=-1$. Точка $(7; -1)$.
  • Точка на левом луче ($y=-x-4$): пусть $x=-3$, тогда $y=-(-3)-4=-1$. Точка $(-3; -1)$.

Сравнивая координаты вычисленных ключевых точек, мы видим, что три из них совпадают: $(2; -6)$, $(7; -1)$ и $(-3; -1)$. Это и есть точки пересечения графиков.

Следовательно, система уравнений имеет три решения.

Ответ: $(2; -6)$, $(7; -1)$, $(-3; -1)$.