Номер 8.1, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.1 a) $y = x^2$;

б) $y = \sqrt{x}$;

В) $y = \frac{1}{x}$;

Г) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

а) Для нахождения производной функции $y = x^2$ используется основное правило дифференцирования степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$. В данном случае показатель степени $n=2$.
Подставляем значение $n$ в формулу и вычисляем производную:
$y' = (x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2x$.
Ответ: $y' = 2x$.

б) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{x}$ сначала представим корень в виде степени: $y = x^{1/2}$.
Теперь применим то же правило дифференцирования степенной функции, где $n = 1/2$.
$y' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$.
Преобразуем выражение, чтобы избавиться от отрицательной степени и вернуться к форме с корнем:
$y' = \frac{1}{2x^{1/2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

в) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{x}$ представим ее в виде степени: $y = x^{-1}$.
Применяем правило дифференцирования степенной функции при $n = -1$.
$y' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2}$.
Запишем результат в виде дроби:
$y' = -\frac{1}{x^2}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{x^2}$.

г) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ сначала представим ее в виде степени: $y = \frac{1}{x^{1/2}} = x^{-1/2}$.
Применим правило дифференцирования степенной функции, где $n = -1/2$.
$y' = (x^{-1/2})' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$.
Преобразуем выражение, чтобы избавиться от отрицательной и дробной степени:
$y' = -\frac{1}{2x^{3/2}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$.