Номер 8.6, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.6 а) $y = \frac{2x + 1}{x(x + 1)}$;

б) $y = \frac{3 + x^2}{x^2(x - 5)}$;

в) $y = \frac{10x^2}{x(7 - x)}$;

г) $y = \frac{8 - 3x}{x^2(6 + x)}$;

а) Дана функция $y = \frac{2x + 1}{x(x + 1)}$.
Это дробно-рациональная функция. Ее область определения (обозначается $D(y)$) — это множество всех действительных чисел, при которых знаменатель не равен нулю, так как деление на ноль не определено.
Найдем значения $x$, которые нужно исключить из области определения, приравняв знаменатель к нулю:
$x(x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $x + 1 = 0$.
Из второго уравнения получаем $x_2 = -1$.
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=0$ и $x=-1$. Это можно записать в виде объединения интервалов.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

б) Дана функция $y = \frac{3 + x^2}{x^2(x - 5)}$.
Функция определена для всех значений $x$, при которых ее знаменатель $x^2(x - 5)$ не равен нулю.
Найдем нули знаменателя, решив уравнение:
$x^2(x - 5) = 0$
Это уравнение распадается на два:
$x^2 = 0$, откуда $x_1 = 0$.
$x - 5 = 0$, откуда $x_2 = 5$.
Таким образом, из области определения необходимо исключить точки $x=0$ и $x=5$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)$.

в) Дана функция $y = \frac{10x^2}{x(7 - x)}$.
Областью определения являются все значения $x$, для которых знаменатель $x(7 - x)$ не обращается в ноль.
Приравняем знаменатель к нулю:
$x(7 - x) = 0$
Корни этого уравнения:
$x_1 = 0$
$7 - x = 0$, откуда $x_2 = 7$.
Хотя дробь можно сократить на $x$ (при $x \neq 0$), область определения ищется для исходной, несокращенной функции. Поэтому $x=0$ является точкой разрыва и исключается из области определения.
Область определения — это все действительные числа, кроме $0$ и $7$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 7) \cup (7; +\infty)$.

г) Дана функция $y = \frac{8 - 3x}{x^2(6 + x)}$.
Функция определена, когда ее знаменатель $x^2(6 + x)$ отличен от нуля.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$x^2(6 + x) = 0$
Уравнение имеет следующие корни:
$x^2 = 0$, откуда $x_1 = 0$.
$6 + x = 0$, откуда $x_2 = -6$.
Следовательно, область определения — это все действительные числа, кроме $x=0$ и $x=-6$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -6) \cup (-6; 0) \cup (0; +\infty)$.