Номер 8.12, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.12 a) $y = \sqrt{2x - x^2}$;

б) $y = \sqrt{\frac{1}{3}x^2 - 3}$;

В) $y = \sqrt{x^2 - 5x}$;

Г) $y = \sqrt{5 - \frac{1}{5}x^2}$.

а) Областью определения функции $y = \sqrt{2x - x^2}$ является множество всех значений $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно. Для нахождения области определения решим неравенство:

$2x - x^2 \ge 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(2 - x) \ge 0$

Это квадратичное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $x(2 - x) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $f(x) = -x^2 + 2x$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный. Следовательно, выражение $2x - x^2$ принимает неотрицательные значения на отрезке между корнями.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[0; 2]$.

Ответ: $[0; 2]$.

б) Областью определения функции $y = \sqrt{\frac{1}{3}x^2 - 3}$ является множество всех значений $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно. Решим неравенство:

$\frac{1}{3}x^2 - 3 \ge 0$

Перенесем $-3$ в правую часть и умножим обе части на 3:

$\frac{1}{3}x^2 \ge 3$

$x^2 \ge 9$

Корнями уравнения $x^2=9$ являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Графиком функции $f(x) = \frac{1}{3}x^2 - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный. Следовательно, выражение принимает неотрицательные значения вне промежутка между корнями.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -3] \cup [3; \infty)$.

Ответ: $(-\infty; -3] \cup [3; \infty)$.

в) Областью определения функции $y = \sqrt{x^2 - 5x}$ является множество всех значений $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно. Решим неравенство:

$x^2 - 5x \ge 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 5) \ge 0$

Корнями уравнения $x(x - 5) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$. Графиком функции $f(x) = x^2 - 5x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный. Следовательно, выражение принимает неотрицательные значения вне промежутка между корнями.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; 0] \cup [5; \infty)$.

Ответ: $(-\infty; 0] \cup [5; \infty)$.

г) Областью определения функции $y = \sqrt{5 - \frac{1}{5}x^2}$ является множество всех значений $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно. Решим неравенство:

$5 - \frac{1}{5}x^2 \ge 0$

Перенесем $\frac{1}{5}x^2$ в правую часть и умножим обе части на 5:

$5 \ge \frac{1}{5}x^2$

$25 \ge x^2$

или

$x^2 \le 25$

Корнями уравнения $x^2 = 25$ являются $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$. Графиком функции $f(x) = 5 - \frac{1}{5}x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный. Следовательно, выражение принимает неотрицательные значения на отрезке между корнями.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[-5; 5]$.

Ответ: $[-5; 5]$.