Номер 8.11, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.11 a) $y = \sqrt{x^2 - 9};$

б) $y = \sqrt{7 - x^2};$

в) $y = \sqrt{x^2 - 144};$

г) $y = \sqrt{20 - x^2}.$

а) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 9}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$x^2 - 9 \ge 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(x - 3)(x + 3) \ge 0$
Корнями соответствующего уравнения $x^2 - 9 = 0$ являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Графиком функции $f(x) = x^2 - 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции неотрицательны при $x$, находящихся за пределами интервала между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $x \le -3$ или $x \ge 3$.
В виде промежутка область определения записывается как $(-\infty; -3] \cup [3; \infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -3] \cup [3; \infty)$.

б) Область определения функции $y = \sqrt{7 - x^2}$ задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Решим неравенство:
$7 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 7$
Корнями уравнения $7 - x^2 = 0$ являются $x_1 = -\sqrt{7}$ и $x_2 = \sqrt{7}$. Графиком функции $f(x) = 7 - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, значения функции неотрицательны на интервале между корнями, включая сами корни.
Таким образом, $-\sqrt{7} \le x \le \sqrt{7}$.
В виде промежутка область определения записывается как $[-\sqrt{7}; \sqrt{7}]$.
Ответ: $D(y) = [-\sqrt{7}; \sqrt{7}]$.

в) Для функции $y = \sqrt{x^2 - 144}$ подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю.
Решим неравенство:
$x^2 - 144 \ge 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x - 12)(x + 12) \ge 0$
Корнями уравнения $x^2 - 144 = 0$ являются $x_1 = -12$ и $x_2 = 12$. Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому решение неравенства находится на промежутках вне корней.
Следовательно, $x \le -12$ или $x \ge 12$.
В виде промежутка область определения записывается как $(-\infty; -12] \cup [12; \infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -12] \cup [12; \infty)$.

г) Область определения функции $y = \sqrt{20 - x^2}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Решим неравенство:
$20 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 20$
Корнями уравнения $20 - x^2 = 0$ являются $x_1 = -\sqrt{20}$ и $x_2 = \sqrt{20}$. Упростим значение корня: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
Таким образом, корни равны $x = -2\sqrt{5}$ и $x = 2\sqrt{5}$. Графиком является парабола с ветвями вниз, поэтому неотрицательные значения находятся между корнями.
Следовательно, $-2\sqrt{5} \le x \le 2\sqrt{5}$.
В виде промежутка область определения записывается как $[-2\sqrt{5}; 2\sqrt{5}]$.
Ответ: $D(y) = [-2\sqrt{5}; 2\sqrt{5}]$.