Номер 8.14, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.14 a) $y = \frac{1}{\sqrt{x-2}};$

б) $y = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 6x + 8}};$

В) $y = \frac{5}{\sqrt{x+3}};$

Г) $y = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 8x + 15}}.$

а) $y = \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Область определения функции (ОДЗ) задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не может быть равен нулю. Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля.

Составим и решим неравенство:

$x - 2 > 0$

Перенесем 2 в правую часть:

$x > 2$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, большие 2.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$

б) $y = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 6x + 8}}$

Для нахождения области определения этой функции, выражение под знаком квадратного корня в знаменателе должно быть строго положительным.

Решим неравенство:

$x^2 - 6x + 8 > 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Разложим квадратный трехчлен на множители: $(x - 2)(x - 4) > 0$.

Это неравенство можно решить методом интервалов. Корни $x=2$ и $x=4$ делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 4)$ и $(4; +\infty)$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 6x + 8$ направлены вверх, она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Следовательно, неравенство выполняется при $x < 2$ или $x > 4$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$

в) $y = \frac{5}{\sqrt{x + 3}}$

Область определения функции определяется условием, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля.

Составим и решим неравенство:

$x + 3 > 0$

Вычтем 3 из обеих частей неравенства:

$x > -3$

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, которые больше -3.

Ответ: $x \in (-3; +\infty)$

г) $y = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 8x + 15}}$

Чтобы найти область определения данной функции, выражение, стоящее под корнем в знаменателе, должно быть строго больше нуля.

Решим неравенство:

$x^2 - 8x + 15 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 15. Корнями являются числа $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Представим неравенство в виде $(x - 3)(x - 5) > 0$.

Графиком функции $y = x^2 - 8x + 15$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Она принимает положительные значения на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, неравенство справедливо для $x < 3$ или $x > 5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (5; +\infty)$