Номер 8.15, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.15 а) $y = 3x\sqrt{(3x - 5)^{-1}};$

б) $y = -2x\sqrt{(x^2 - 11x - 12)^{-1}};$

в) $y = -\sqrt{(20 - 5x)^{-1}};$

г) $y = \frac{x^2}{4}\sqrt{(-x^2 + 7x - 12)^{-1}}.$

а) Для функции $y = 3x \sqrt{(3x - 5)^{-1}}$, область определения находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Учитывая, что $(3x - 5)^{-1} = \frac{1}{3x - 5}$, получаем, что $\frac{1}{3x - 5} \ge 0$. Поскольку числитель дроби (1) является положительным числом, это неравенство выполняется только тогда, когда знаменатель также положителен. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому условие становится строгим: $3x - 5 > 0$. Решим это линейное неравенство: $3x > 5$, откуда $x > \frac{5}{3}$. Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, большие $\frac{5}{3}$.
Ответ: $x \in (\frac{5}{3}, +\infty)$.

б) Рассмотрим функцию $y = -2x \sqrt{(x^2 - 11x - 12)^{-1}}$. Область определения задается условием неотрицательности подкоренного выражения: $(x^2 - 11x - 12)^{-1} \ge 0$. Перепишем это как $\frac{1}{x^2 - 11x - 12} \ge 0$. Так как числитель положителен, знаменатель должен быть строго больше нуля: $x^2 - 11x - 12 > 0$. Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 11x - 12 = 0$. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 121 + 48 = 169 = 13^2$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{11 - 13}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{11 + 13}{2} = 12$. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы $y = x^2 - 11x - 12$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 11x - 12 > 0$ выполняется на интервалах, находящихся за пределами корней.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (12, +\infty)$.

в) Для функции $y = - \sqrt{(20 - 5x)^{-1}}$, или $y = - \sqrt{\frac{1}{20 - 5x}}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{1}{20 - 5x} \ge 0$. Это неравенство эквивалентно условию, что знаменатель строго больше нуля: $20 - 5x > 0$. Решаем неравенство: $20 > 5x$, что равносильно $4 > x$ или $x < 4$. Область определения функции — это интервал от минус бесконечности до 4, не включая 4.
Ответ: $x \in (-\infty, 4)$.

г) Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2}{4} \sqrt{(-x^2 + 7x - 12)^{-1}}$. Область определения функции определяется условием $(-x^2 + 7x - 12)^{-1} \ge 0$, что можно записать в виде $\frac{1}{-x^2 + 7x - 12} \ge 0$. Это условие выполняется, когда знаменатель строго положителен: $-x^2 + 7x - 12 > 0$. Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $-x^2 + 7x - 12 = 0$. Умножим на -1 для удобства: $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения равны $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$. Ветви параболы $y = -x^2 + 7x - 12$ направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-1 < 0$). Поэтому неравенство $-x^2 + 7x - 12 > 0$ выполняется между корнями.
Ответ: $x \in (3, 4)$.