Номер 8.16, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Основные понятия. Глава 3. Числовые функции. ч. 2 - номер 8.16, страница 53.

8.16 a) $y = \frac{\sqrt{2 - x}}{\sqrt{x + 2}}$;

б) $y = \frac{\sqrt{4x + 6}}{\sqrt{3x + 4}}$;

в) $y = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 3}}$;

г) $y = \frac{\sqrt{5 - 3x}}{\sqrt{4x + 8}}$.

а) Для нахождения области определения функции $y = \frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{x+2}}$ необходимо, чтобы выражение под корнем в числителе было неотрицательным, а выражение под корнем в знаменателе — строго положительным, так как на ноль делить нельзя.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 2 - x \ge 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $2 - x \ge 0 \implies -x \ge -2 \implies x \le 2$

2) $x + 2 > 0 \implies x > -2$

Найдем пересечение решений: необходимо, чтобы $x$ был одновременно меньше или равен 2 и строго больше -2. Это соответствует промежутку $(-2, 2]$.

Ответ: $x \in (-2, 2]$.

б) Для функции $y = \frac{\sqrt{4x+6}}{\sqrt{3x+4}}$ область определения находится из следующих условий:

$\begin{cases} 4x + 6 \ge 0 \\ 3x + 4 > 0 \end{cases}$

Решим систему:

1) $4x + 6 \ge 0 \implies 4x \ge -6 \implies x \ge -\frac{6}{4} \implies x \ge -1.5$

2) $3x + 4 > 0 \implies 3x > -4 \implies x > -\frac{4}{3}$

Сравним значения: $-\frac{4}{3} \approx -1.333...$. Так как $-1.333... > -1.5$, то более строгим является второе неравенство. Следовательно, общее решение системы — это $x > -\frac{4}{3}$.

Ответ: $x \in (-\frac{4}{3}, +\infty)$.

в) Для функции $y = \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+3}}$ область определения задается системой неравенств:

$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1) $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$

2) $x + 3 > 0 \implies x > -3$

Пересечением двух условий $x \ge -1$ и $x > -3$ является более сильное условие, то есть $x \ge -1$.

Ответ: $x \in [-1, +\infty)$.

г) Для функции $y = \frac{\sqrt{5-3x}}{\sqrt{4x+8}}$ область определения находится из системы:

$\begin{cases} 5 - 3x \ge 0 \\ 4x + 8 > 0 \end{cases}$

Решим систему неравенств:

1) $5 - 3x \ge 0 \implies -3x \ge -5 \implies x \le \frac{5}{3}$

2) $4x + 8 > 0 \implies 4x > -8 \implies x > -2$

Общим решением является интервал, где $x$ одновременно больше -2 и меньше или равен $\frac{5}{3}$.

Ответ: $x \in (-2, \frac{5}{3}]$.