Номер 8.17, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.17 a) $y = \sqrt{\frac{2-x}{3x+2}};$

Б) $y = \sqrt{\frac{3x+6}{2x+1}};$

В) $y = \sqrt{\frac{2x+1}{x+3}};$

Г) $y = \sqrt{\frac{5-3x}{2x+8}}.$

а) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{2-x}{3x+2}}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Таким образом, необходимо решить неравенство:

$\frac{2-x}{3x+2} \ge 0$

Данное рациональное неравенство решается методом интервалов. Это неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} (2-x)(3x+2) \ge 0, \\ 3x+2 \ne 0. \end{cases}$

Найдем нули числителя и знаменателя:

$2-x = 0 \Rightarrow x = 2$

$3x+2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$

Отметим эти точки на числовой прямой. Точка $x=2$ будет закрашенной (неравенство нестрогое), а точка $x = -\frac{2}{3}$ — выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Определим знаки выражения на интервалах $(-\infty, -\frac{2}{3})$, $(-\frac{2}{3}, 2]$ и $[2, \infty)$. Парабола $f(x)=(2-x)(3x+2) = -3x^2+4x+4$ имеет ветви, направленные вниз, следовательно, она положительна между корнями.

Таким образом, неравенство выполняется при $x \in (-\frac{2}{3}, 2]$.

Ответ: $D(y) = (-\frac{2}{3}, 2]$.

б) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{3x+6}{2x+1}}$ задается неравенством:

$\frac{3x+6}{2x+1} \ge 0$

Решаем методом интервалов. Находим нули числителя и знаменателя:

$3x+6=0 \Rightarrow x=-2$

$2x+1=0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$

Знаменатель не равен нулю, т.е. $x \ne -\frac{1}{2}$. Отметим точки $-2$ и $-\frac{1}{2}$ на числовой прямой. Парабола $f(x)=(3x+6)(2x+1) = 6x^2+15x+6$ имеет ветви, направленные вверх, следовательно, она положительна вне интервала между корнями.

Неравенство выполняется на интервалах $(-\infty, -2]$ и $(-\frac{1}{2}, \infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -2] \cup (-\frac{1}{2}, \infty)$.

в) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{2x+1}{x+3}}$ задается неравенством:

$\frac{2x+1}{x+3} \ge 0$

Находим нули числителя и знаменателя:

$2x+1=0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$

$x+3=0 \Rightarrow x = -3$

Знаменатель не равен нулю, т.е. $x \ne -3$. Отмечаем точки $-3$ и $-\frac{1}{2}$ на числовой прямой. Парабола $f(x)=(2x+1)(x+3) = 2x^2+7x+3$ имеет ветви, направленные вверх, следовательно, она положительна вне интервала между корнями.

Неравенство выполняется на интервалах $(-\infty, -3)$ и $[-\frac{1}{2}, \infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -3) \cup [-\frac{1}{2}, \infty)$.

г) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{5-3x}{2x+8}}$ задается неравенством:

$\frac{5-3x}{2x+8} \ge 0$

Находим нули числителя и знаменателя:

$5-3x=0 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$

$2x+8=0 \Rightarrow x = -4$

Знаменатель не равен нулю, т.е. $x \ne -4$. Отмечаем точки $-4$ и $\frac{5}{3}$ на числовой прямой. Парабола $f(x)=(5-3x)(2x+8) = -6x^2-14x+40$ имеет ветви, направленные вниз, следовательно, она положительна между корнями.

Таким образом, неравенство выполняется при $x \in (-4, \frac{5}{3}]$.

Ответ: $D(y) = (-4, \frac{5}{3}]$.