Номер 8.20, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.20 Приведите пример функции $y = f(x)$, у которой:

а) $D(f) = E(f)$;

б) $D(f) \subset E(f)$;

в) $E(f) \subset D(f)$;

г) $D(f) \not\subset E(f)$ и $E(f) \not\subset D(f)$.

а) $D(f) = E(f)$

Рассмотрим функцию $y = f(x) = \frac{1}{x}$.

Область определения $D(f)$: функция определена для всех действительных чисел, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. То есть, $x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Область значений $E(f)$: чтобы найти область значений, выразим $x$ через $y$: $y = \frac{1}{x} \implies x = \frac{1}{y}$. Эта формула имеет смысл для всех $y$, кроме $y=0$. Таким образом, $E(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Сравнивая область определения и область значений, мы видим, что они совпадают: $D(f) = E(f)$.

Ответ: $y = \frac{1}{x}$.

б) $D(f) \subset E(f)$

Рассмотрим функцию $y = f(x) = \sqrt{x} - 1$.

Область определения $D(f)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Таким образом, $D(f) = [0, +\infty)$.

Область значений $E(f)$: так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $y = \sqrt{x} - 1 \ge 0 - 1 = -1$. Таким образом, $E(f) = [-1, +\infty)$.

Сравнивая множества $D(f) = [0, +\infty)$ и $E(f) = [-1, +\infty)$, мы видим, что любое число из $D(f)$ также принадлежит $E(f)$. Однако в $E(f)$ есть элементы, которые не принадлежат $D(f)$ (например, число -0.5). Следовательно, $D(f)$ является строгим подмножеством $E(f)$, то есть $D(f) \subset E(f)$.

Ответ: $y = \sqrt{x} - 1$.

в) $E(f) \subset D(f)$

Рассмотрим функцию $y = f(x) = \sin(x)$.

Область определения $D(f)$: функция синус определена для всех действительных чисел. Таким образом, $D(f) = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)$.

Область значений $E(f)$: функция синус принимает значения в отрезке от -1 до 1. Таким образом, $E(f) = [-1, 1]$.

Сравнивая множества $E(f) = [-1, 1]$ и $D(f) = \mathbb{R}$, мы видим, что любое число из $E(f)$ также принадлежит $D(f)$. Однако в $D(f)$ есть элементы, которые не принадлежат $E(f)$ (например, число 2). Следовательно, $E(f)$ является строгим подмножеством $D(f)$, то есть $E(f) \subset D(f)$.

Ответ: $y = \sin(x)$.

г) $D(f) \not\subseteq E(f)$ и $E(f) \not\subseteq D(f)$

Рассмотрим функцию $y = f(x) = \frac{1}{x-2} + 3$.

Область определения $D(f)$: функция определена, когда знаменатель не равен нулю, то есть $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$. Таким образом, $D(f) = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.

Область значений $E(f)$: выразим $x$ через $y$. $y - 3 = \frac{1}{x-2} \implies x-2 = \frac{1}{y-3} \implies x = 2 + \frac{1}{y-3}$. Это выражение определено для всех $y$, кроме $y=3$. Таким образом, $E(f) = (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.

Сравним множества $D(f)$ и $E(f)$.

1. $D(f) \not\subseteq E(f)$, так как существует элемент, принадлежащий $D(f)$, но не принадлежащий $E(f)$. Например, число $3 \in D(f)$, но $3 \notin E(f)$.

2. $E(f) \not\subseteq D(f)$, так как существует элемент, принадлежащий $E(f)$, но не принадлежащий $D(f)$. Например, число $2 \in E(f)$, но $2 \notin D(f)$.

Оба условия выполняются.

Ответ: $y = \frac{1}{x-2} + 3$.