Номер 8.24, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.24 Является ли корректным задание: построить график функции $y = f(x)$, где

а) $f(x) = \begin{cases} x^2, \text{ если } -2 \le x \le 1; \\ x+1, \text{ если } 0 < x < 3; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, \text{ если } 0 \le x \le 4; \\ x^2, \text{ если } x \ge 4; \end{cases}$

в) $f(x) = \begin{cases} x^2, \text{ если } -2 \le x \le 0; \\ x+1, \text{ если } 1 \le x \le 3; \end{cases}$

г) $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, \text{ если } 0 \le x \le 4; \\ \frac{x^2}{8}, \text{ если } x \ge 4? \end{cases}$

а) Для того чтобы задание было корректным, данное выражение должно задавать функцию. По определению, функция каждому значению аргумента $x$ из области определения ставит в соответствие единственное значение $y$.
В данном случае функция задана двумя формулами на разных промежутках:
$f(x) = x^2$, если $-2 \le x \le 1$.
$f(x) = x + 1$, если $0 < x < 3$.
Найдем пересечение этих промежутков: $[-2, 1] \cap (0, 3) = (0, 1]$.
На этом интервале $(0, 1]$ значение функции $f(x)$ должно быть определено однозначно. То есть, для любого $x \in (0, 1]$ должно выполняться равенство $x^2 = x + 1$.
Решим уравнение $x^2 - x - 1 = 0$. Его корни $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Ни один из этих корней не принадлежит интервалу $(0, 1]$. Это означает, что для всех $x \in (0, 1]$ значения, вычисленные по двум формулам, не совпадают.
Например, возьмем точку $x=1$. Согласно первому условию, $f(1) = 1^2 = 1$. Согласно второму условию, $f(1) = 1 + 1 = 2$.
Поскольку $1 \neq 2$, для одного и того же значения аргумента $x=1$ мы получили два разных значения функции. Это противоречит определению функции.
Следовательно, задание некорректно.
Ответ: некорректно.

б) Проверим, является ли данное выражение функцией.
Функция задана формулами:
$f(x) = \sqrt{x}$, если $0 \le x \le 4$.
$f(x) = x^2$, если $x \ge 4$.
Область определения первой части — $[0, 4]$, второй — $[4, +\infty)$.
Найдем пересечение этих областей: $[0, 4] \cap [4, +\infty) = \{4\}$.
Пересечение состоит из одной точки $x=4$. Для корректности задания необходимо, чтобы значения функции, вычисленные по обеим формулам в этой точке, совпадали.
Вычислим значение функции в точке $x=4$ по обеим формулам:
По первой формуле: $f(4) = \sqrt{4} = 2$.
По второй формуле: $f(4) = 4^2 = 16$.
Так как $2 \neq 16$, в точке $x=4$ функция имеет два разных значения, что противоречит определению функции.
Следовательно, задание некорректно.
Ответ: некорректно.

в) Проверим корректность задания.
Функция задана формулами:
$f(x) = x^2$, если $-2 \le x \le 0$.
$f(x) = x + 1$, если $1 \le x \le 3$.
Области определения для двух частей: $[-2, 0]$ и $[1, 3]$.
Найдем пересечение этих областей: $[-2, 0] \cap [1, 3] = \emptyset$.
Так как пересечение областей определения пусто, не существует такого значения $x$, для которого значение функции вычислялось бы по двум разным формулам одновременно. Каждому значению $x$ из общей области определения $D = [-2, 0] \cup [1, 3]$ соответствует ровно одно значение $y$. Тот факт, что функция не определена на интервале $(0, 1)$, не делает ее задание некорректным. Это просто означает, что область определения функции имеет разрыв.
Следовательно, данное выражение корректно задает функцию, и можно построить ее график.
Ответ: корректно.

г) Проверим, является ли данное выражение функцией.
Функция задана формулами:
$f(x) = \sqrt{x}$, если $0 \le x \le 4$.
$f(x) = \frac{x^2}{8}$, если $x \ge 4$.
Область определения первой части — $[0, 4]$, второй — $[4, +\infty)$.
Найдем пересечение этих областей: $[0, 4] \cap [4, +\infty) = \{4\}$.
Пересечение состоит из одной точки $x=4$. Для корректности задания необходимо, чтобы значения функции в этой точке, вычисленные по обеим формулам, совпадали.
Вычислим значение функции в точке $x=4$ по обеим формулам:
По первой формуле: $f(4) = \sqrt{4} = 2$.
По второй формуле: $f(4) = \frac{4^2}{8} = \frac{16}{8} = 2$.
Так как значения совпали ($2 = 2$), в точке $x=4$ значение функции определено однозначно. Для любого другого $x$ из области определения $[0, +\infty)$ значение также определяется однозначно.
Следовательно, задание корректно, так как данное выражение задает функцию.
Ответ: корректно.