Номер 8.31, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.31 a) $y = \frac{\sqrt{7x + 1}}{x^2 - x - 2}$;

б) $y = \sqrt{\frac{3x + 7}{x + 2}};

В) $y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x^2 - 5x + 4};

Г) $y = \sqrt{\frac{x - 2}{5 - 2x}}.$

а) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{7x + 1}}{x^2 - x - 2}$ находится из системы двух условий: выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю.

1. Выражение под корнем: $7x + 1 \ge 0$.

Решаем неравенство: $7x \ge -1$, откуда $x \ge -\frac{1}{7}$.

2. Знаменатель не равен нулю: $x^2 - x - 2 \neq 0$.

Чтобы найти значения $x$, которые нужно исключить, решим квадратное уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, его корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq -1$.

Теперь объединим оба условия: $x \ge -\frac{1}{7}$ и $x \neq 2$. Условие $x \neq -1$ автоматически выполняется, так как $-1 < -\frac{1}{7}$.

Таким образом, область определения функции — это все числа, большие или равные $-\frac{1}{7}$, за исключением числа 2.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{7}, 2) \cup (2, +\infty)$.

б) Для функции $y = \sqrt{\frac{3x + 7}{x + 2}}$ область определения задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$\frac{3x + 7}{x + 2} \ge 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $3x + 7 = 0 \implies x = -\frac{7}{3}$. Так как неравенство нестрогое, эта точка входит в область определения.

Нуль знаменателя: $x + 2 = 0 \implies x = -2$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому эта точка исключается из области определения.

Наносим точки $-\frac{7}{3}$ (закрашенная) и $-2$ (выколотая) на числовую прямую и определяем знаки выражения $\frac{3x + 7}{x + 2}$ в полученных интервалах:

Интервал $(-\infty, -\frac{7}{3})$: знак (+). Например, при $x=-3$, $\frac{3(-3)+7}{-3+2} = \frac{-2}{-1}=2>0$.

Интервал $(-\frac{7}{3}, -2)$: знак (-). Например, при $x=-2.5$, $\frac{3(-2.5)+7}{-2.5+2} = \frac{-0.5}{-0.5}=1>0$. Ой, ошибка в примере. Возьмем $x=-2.2$. $\frac{3(-2.2)+7}{-2.2+2} = \frac{-6.6+7}{-0.2}=\frac{0.4}{-0.2}=-2<0$.

Интервал $(-2, +\infty)$: знак (+). Например, при $x=0$, $\frac{7}{2}>0$.

Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{7}{3}] \cup (-2, +\infty)$.

в) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x^2 - 5x + 4}$ находится из системы двух условий:

1. Выражение под корнем: $x - 2 \ge 0$.

Решаем неравенство: $x \ge 2$.

2. Знаменатель не равен нулю: $x^2 - 5x + 4 \neq 0$.

Решим уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, его корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq 4$.

Объединим условия: $x \ge 2$ и $x \neq 4$. Условие $x \neq 1$ автоматически выполняется, так как $1 < 2$.

Таким образом, область определения функции — это все числа, большие или равные 2, за исключением числа 4.

Ответ: $x \in [2, 4) \cup (4, +\infty)$.

г) Для функции $y = \sqrt{\frac{x - 2}{5 - 2x}}$ область определения задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$\frac{x - 2}{5 - 2x} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $x - 2 = 0 \implies x = 2$. Точка включается в область определения.

Нуль знаменателя: $5 - 2x = 0 \implies 2x=5 \implies x = 2.5$. Точка исключается из области определения.

Наносим точки $2$ (закрашенная) и $2.5$ (выколотая) на числовую прямую и определяем знаки выражения $\frac{x - 2}{5 - 2x}$ в интервалах:

Интервал $(-\infty, 2)$: знак (-). Например, при $x=0$, $\frac{-2}{5}<0$.

Интервал $(2, 2.5)$: знак (+). Например, при $x=2.1$, $\frac{2.1-2}{5-2(2.1)}=\frac{0.1}{0.8}>0$.

Интервал $(2.5, +\infty)$: знак (-). Например, при $x=3$, $\frac{3-2}{5-6}=\frac{1}{-1}<0$.

Выбираем интервал, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $x \in [2, 2.5)$.