Номер 8.34, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.34 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} x, \text{ если } x \le 0; \\ x^2, \text{ если } 0 < x < 2; \\ 4, \text{ если } 2 \le x \le 4. \end{cases}$

а) Укажите $D(f)$;

б) вычислите: $f(-2)$, $f(0)$, $f(2)$, $f(4)$, $f(8)$;

в) постройте график функции;

г) найдите $E(f)$.

а) Укажите D(f);

Область определения функции $D(f)$ — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. Данная функция определена на трех интервалах:

1. $x \le 0$, что соответствует промежутку $(-\infty; 0]$.
2. $0 < x < 2$, что соответствует промежутку $(0; 2)$.
3. $2 \le x \le 4$, что соответствует промежутку $[2; 4]$.

Область определения $D(f)$ является объединением этих трех промежутков:

$D(f) = (-\infty; 0] \cup (0; 2) \cup [2; 4]$

Объединяя эти множества, мы получаем один сплошной промежуток от $-\infty$ до $4$, включая $4$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 4]$.

б) вычислите: f(-2), f(0), f(2), f(4), f(8);

Для вычисления значений функции в заданных точках нужно определить, какому из трех интервалов принадлежит аргумент $x$ и использовать соответствующую формулу.

• Для $x = -2$: так как $-2 \le 0$, используем первую формулу $f(x) = x$.
  $f(-2) = -2$.
• Для $x = 0$: так как $0 \le 0$, используем первую формулу $f(x) = x$.
  $f(0) = 0$.
• Для $x = 2$: так как $2 \le 2 \le 4$, используем третью формулу $f(x) = 4$.
  $f(2) = 4$.
• Для $x = 4$: так как $2 \le 4 \le 4$, используем третью формулу $f(x) = 4$.
  $f(4) = 4$.
• Для $x = 8$: значение $x=8$ не входит в область определения функции $D(f) = (-\infty; 4]$, следовательно, значение $f(8)$ не определено.

Ответ: $f(-2) = -2$; $f(0) = 0$; $f(2) = 4$; $f(4) = 4$; $f(8)$ не существует.

в) постройте график функции;

График функции состоит из трех частей:

1. На промежутке $(-\infty; 0]$ график совпадает с графиком функции $y=x$. Это луч, выходящий из точки $(0;0)$ и проходящий через точку $(-1;-1)$. Точка $(0;0)$ включена.
2. На интервале $(0; 2)$ график совпадает с графиком функции $y=x^2$. Это часть параболы с вершиной в начале координат. Конечные точки интервала не включены, поэтому на графике будут выколотые точки $(0;0)$ и $(2;4)$. Однако точка $(0;0)$ уже включена первым участком.
3. На отрезке $[2; 4]$ график совпадает с графиком функции $y=4$. Это горизонтальный отрезок прямой, соединяющий точки $(2;4)$ и $(4;4)$. Обе конечные точки включены. Точка $(2;4)$ "закрашивает" выколотую точку от второго участка.

Итоговый график функции представлен на рисунке ниже.

Ответ: График функции построен и представлен на рисунке выше.

г) найдите E(f).

Область значений функции $E(f)$ — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Найдем область значений для каждой части функции:

• При $x \le 0$, $f(x) = x$. Множество значений на этом промежутке — $(-\infty; 0]$.
• При $0 < x < 2$, $f(x) = x^2$. Так как $x$ изменяется от $0$ до $2$ (не включая), $y$ изменяется от $0^2=0$ до $2^2=4$ (не включая). Множество значений — $(0; 4)$.
• При $2 \le x \le 4$, $f(x) = 4$. Функция постоянна и принимает только одно значение $y=4$. Множество значений — $\{4\}$.

Общая область значений $E(f)$ является объединением этих трех множеств:

$E(f) = (-\infty; 0] \cup (0; 4) \cup \{4\}$

Объединяя эти множества, получаем один сплошной промежуток от $-\infty$ до $4$, включая $4$.

Ответ: $E(f) = (-\infty; 4]$.