Номер 8.32, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.32 a) $y = \frac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{x-3}};

б) $y = \frac{\sqrt{3x+1}}{\sqrt{7x-4}};

В) $y = \sqrt{\frac{2x+1}{x-3}};

Г) $y = \frac{\sqrt{3x+1}}{\sqrt{7x-4}}.

а) $y = \frac{\sqrt{2x + 1}}{\sqrt{x - 3}}$

Область определения функции (ОДЗ) находится из условий, что выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными, а знаменатель дроби не должен равняться нулю.

1. Выражение под корнем в числителе: $2x + 1 \ge 0$.

2. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным (поскольку деление на ноль недопустимо): $x - 3 > 0$.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} 2x + 1 \ge 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $2x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{2}$.

Решим второе неравенство: $x > 3$.

Для нахождения области определения нужно найти пересечение решений этих неравенств. На числовой оси отмечаем оба условия. Общим решением будет промежуток, где выполняются оба условия, то есть $x > 3$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

б) $y = \frac{\sqrt{3x + 1}}{\sqrt{7x - 4}}$

Аналогично предыдущему пункту, для нахождения области определения функции составим систему неравенств:

1. Подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным: $3x + 1 \ge 0$.

2. Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным: $7x - 4 > 0$.

Система неравенств:

$\begin{cases} 3x + 1 \ge 0 \\ 7x - 4 > 0 \end{cases}$

Решение первого неравенства: $3x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{3}$.

Решение второго неравенства: $7x > 4 \implies x > \frac{4}{7}$.

Найдём пересечение полученных решений. Так как $\frac{4}{7}$ (положительное число) больше, чем $-\frac{1}{3}$ (отрицательное число), то условие $x > \frac{4}{7}$ является более сильным. Следовательно, решением системы является $x > \frac{4}{7}$.

Ответ: $x \in (\frac{4}{7}; +\infty)$.

в) $y = \sqrt{\frac{2x + 1}{x - 3}}$

В данном случае вся дробь находится под одним знаком корня. Область определения функции определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$\frac{2x + 1}{x - 3} \ge 0$

Для решения этого дробно-рационального неравенства применим метод интервалов.

1. Найдём нули числителя: $2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$. Эта точка включается в решение, так как неравенство нестрогое.

2. Найдём нули знаменателя: $x - 3 = 0 \implies x = 3$. Эта точка исключается из решения, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Отметим точки $-\frac{1}{2}$ и $3$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -\frac{1}{2}]$, $(-\frac{1}{2}; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак дроби на каждом интервале, подставляя пробную точку:

— на интервале $(-\infty; -\frac{1}{2}]$ (например, $x=-1$): $\frac{2(-1)+1}{-1-3} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} > 0$. Знак "+", интервал подходит.
— на интервале $(-\frac{1}{2}; 3)$ (например, $x=0$): $\frac{2(0)+1}{0-3} = -\frac{1}{3} < 0$. Знак "-", интервал не подходит.
— на интервале $(3; +\infty)$ (например, $x=4$): $\frac{2(4)+1}{4-3} = \frac{9}{1} = 9 > 0$. Знак "+", интервал подходит.

Объединяем интервалы, на которых выражение неотрицательно.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}] \cup (3; +\infty)$.

г) $y = \sqrt{\frac{3x + 1}{7x - 4}}$

Область определения функции задаётся неравенством, согласно которому выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$\frac{3x + 1}{7x - 4} \ge 0$

Решаем неравенство методом интервалов.

1. Нуль числителя: $3x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{3}$. Точка включается в решение.

2. Нуль знаменателя: $7x - 4 = 0 \implies x = \frac{4}{7}$. Точка исключается из решения.

Точки $-\frac{1}{3}$ и $\frac{4}{7}$ делят числовую ось на интервалы. Проверим знак дроби в каждом из них:

— на интервале $(-\infty; -\frac{1}{3}]$ (например, $x=-1$): $\frac{3(-1)+1}{7(-1)-4} = \frac{-2}{-11} > 0$. Знак "+", интервал подходит.
— на интервале $(-\frac{1}{3}; \frac{4}{7})$ (например, $x=0$): $\frac{3(0)+1}{7(0)-4} = -\frac{1}{4} < 0$. Знак "-", интервал не подходит.
— на интервале $(\frac{4}{7}; +\infty)$ (например, $x=1$): $\frac{3(1)+1}{7(1)-4} = \frac{4}{3} > 0$. Знак "+", интервал подходит.

Объединяем интервалы, где выражение неотрицательно.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}] \cup (\frac{4}{7}; +\infty)$.