Номер 8.35, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.35 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 2x^2 - 4x + 1, \text{если } x \le 2; \\ -3(x - 2)^2 + 1, \text{если } 2 < x \le 3. \end{cases}$

а) Укажите $D(f)$;

б) вычислите: $f(0), f(2), f(3), f(4), f(5)$;

в) постройте график функции;

г) найдите $E(f)$.

а) Укажите D(f);

Область определения функции $D(f)$ – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Данная кусочно-заданная функция определена для двух промежутков:

1. $x \le 2$, что соответствует промежутку $(-\infty, 2]$.
2. $2 < x \le 3$, что соответствует промежутку $(2, 3]$.

Область определения функции $f(x)$ является объединением этих двух промежутков: $D(f) = (-\infty, 2] \cup (2, 3] = (-\infty, 3]$.

Ответ: $D(f) = (-\infty, 3]$.

б) вычислите: f(0), f(2), f(3), f(4), f(5);

Для вычисления значений функции используем соответствующую формулу в зависимости от значения аргумента $x$.

• Для $f(0)$: так как $0 \le 2$, используем первую формулу $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$.
  $f(0) = 2(0)^2 - 4(0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$.
• Для $f(2)$: так как $2 \le 2$, используем первую формулу $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$.
  $f(2) = 2(2)^2 - 4(2) + 1 = 2 \cdot 4 - 8 + 1 = 8 - 8 + 1 = 1$.
• Для $f(3)$: так как $2 < 3 \le 3$, используем вторую формулу $f(x) = -3(x - 2)^2 + 1$.
  $f(3) = -3(3 - 2)^2 + 1 = -3(1)^2 + 1 = -3 + 1 = -2$.
• Для $f(4)$: значение $x = 4$ не входит в область определения функции $D(f) = (-\infty, 3]$, поэтому значение $f(4)$ не определено.
• Для $f(5)$: значение $x = 5$ не входит в область определения функции $D(f) = (-\infty, 3]$, поэтому значение $f(5)$ не определено.

Ответ: $f(0) = 1$, $f(2) = 1$, $f(3) = -2$, $f(4)$ и $f(5)$ не определены.

в) постройте график функции;

График функции состоит из двух частей.

Первая часть – это график функции $y = 2x^2 - 4x + 1$ на промежутке $x \le 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины: $x_в = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$. $y_в = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$. Вершина параболы находится в точке $(1, -1)$. Так как $1 \le 2$, вершина принадлежит этой части графика. На границе промежутка при $x=2$ имеем $y = f(2) = 1$. Точка $(2, 1)$ является конечной точкой этой части графика и она закрашена (входит в график).

Вторая часть – это график функции $y = -3(x - 2)^2 + 1$ на промежутке $2 < x \le 3$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Ее вершина находится в точке $(2, 1)$. Так как для этой части $x > 2$, сама вершина не принадлежит графику. В точке $(2, 1)$ будет "выколотая" точка. На границе промежутка при $x=3$ имеем $y = f(3) = -2$. Точка $(3, -2)$ является конечной точкой этой части графика и она закрашена.

При объединении графиков точка $(2, 1)$ оказывается закрашенной, так как она принадлежит первой части графика. Таким образом, функция непрерывна в точке $x=2$. График представляет собой кривую, которая до точки $(1, -1)$ убывает, от $(1, -1)$ до $(2, 1)$ возрастает, а от $(2, 1)$ до $(3, -2)$ снова убывает.

Ответ: График состоит из части параболы $y=2x^2-4x+1$ с вершиной в $(1, -1)$, определенной для $x \le 2$, и части параболы $y=-3(x-2)^2+1$, определенной для $2 < x \le 3$, которая "начинается" в точке $(2, 1)$ и заканчивается в точке $(3, -2)$.

г) найдите E(f).

Область значений функции $E(f)$ – это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Найдем ее, проанализировав обе части функции.

1. На промежутке $(-\infty, 2]$ функция $y = 2x^2 - 4x + 1$ представляет собой параболу с ветвями вверх и вершиной в точке $(1, -1)$. Так как $x_в = 1$ принадлежит этому промежутку, минимальное значение функции на этом участке равно $y_в = -1$. Максимального значения нет, так как при $x \to -\infty$, $y \to +\infty$. Таким образом, область значений для этой части: $[-1, +\infty)$.

2. На промежутке $(2, 3]$ функция $y = -3(x - 2)^2 + 1$ является убывающей. Максимальное значение она принимает при $x$, стремящемся к 2, и это значение равно 1 (но не достигается). Минимальное значение достигается при $x=3$ и равно $f(3) = -2$. Таким образом, область значений для этой части: $[-2, 1)$.

Общая область значений функции $E(f)$ является объединением областей значений обеих частей: $E(f) = [-1, +\infty) \cup [-2, 1) = [-2, +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [-2, +\infty)$.