Страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

8.30 a) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 36}}{\sqrt{x^2 - x - 2}}$;

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 6x + 5}}{\sqrt{25 - x^2}}$;

В) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{\sqrt{6 - x - x^2}}$;

Г) $y = \frac{\sqrt{x^2 + 7x - 8}}{\sqrt{9 - x^2}}$.

Для нахождения области определения каждой функции необходимо решить систему неравенств. Во-первых, подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным. Во-вторых, подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным, так как оно находится под корнем и в знаменателе дроби.

а) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 36}}{\sqrt{x^2 - x - 2}}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 36 \ge 0 \\ x^2 - x - 2 > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 36 \ge 0$.

Разложим на множители: $(x - 6)(x + 6) \ge 0$.

Корни соответствующего уравнения $x_1 = -6, x_2 = 6$. Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства находится вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - x - 2 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

Неравенство можно записать в виде $(x - 2)(x + 1) > 0$.

Это парабола с ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.

3. Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$(-\infty, -6] \cup [6, \infty)$ и $(-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.

Пересекая эти множества, получаем: $x \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty)$.

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 6x + 5}}{\sqrt{25 - x^2}}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 6x + 5 \ge 0 \\ 25 - x^2 > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 6x + 5 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1, x_2 = 5$.

Неравенство можно записать в виде $(x - 1)(x - 5) \ge 0$.

Решением является $x \in (-\infty, 1] \cup [5, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $25 - x^2 > 0$.

Это эквивалентно $x^2 < 25$, откуда $-5 < x < 5$.

Решением является интервал $x \in (-5, 5)$.

3. Найдем пересечение решений: $((-\infty, 1] \cup [5, \infty)) \cap (-5, 5)$.

Пересечение $(-5, 5)$ с $(-\infty, 1]$ дает интервал $(-5, 1]$.

Пересечение $(-5, 5)$ с $[5, \infty)$ дает пустое множество.

Таким образом, область определения функции: $x \in (-5, 1]$.

Ответ: $x \in (-5, 1]$.

в) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{\sqrt{6 - x - x^2}}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \\ 6 - x - x^2 > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 4 \ge 0$.

Разложим на множители: $(x - 2)(x + 2) \ge 0$.

Решением является $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $6 - x - x^2 > 0$. Умножим на -1, чтобы получить стандартный вид: $x^2 + x - 6 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 2, x_2 = -3$.

Неравенство можно записать в виде $(x - 2)(x + 3) < 0$.

Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства находится между корнями: $x \in (-3, 2)$.

3. Найдем пересечение решений: $((-\infty, -2] \cup [2, \infty)) \cap (-3, 2)$.

Пересечение $(-3, 2)$ с $(-\infty, -2]$ дает полуинтервал $(-3, -2]$.

Пересечение $(-3, 2)$ с $[2, \infty)$ дает пустое множество.

Таким образом, область определения функции: $x \in (-3, -2]$.

Ответ: $x \in (-3, -2]$.

г) $y = \frac{\sqrt{x^2 + 7x - 8}}{\sqrt{9 - x^2}}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 7x - 8 \ge 0 \\ 9 - x^2 > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 + 7x - 8 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1, x_2 = -8$.

Неравенство можно записать в виде $(x - 1)(x + 8) \ge 0$.

Решением является $x \in (-\infty, -8] \cup [1, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $9 - x^2 > 0$.

Это эквивалентно $x^2 < 9$, откуда $-3 < x < 3$.

Решением является интервал $x \in (-3, 3)$.

3. Найдем пересечение решений: $((-\infty, -8] \cup [1, \infty)) \cap (-3, 3)$.

Пересечение $(-3, 3)$ с $(-\infty, -8]$ дает пустое множество.

Пересечение $(-3, 3)$ с $[1, \infty)$ дает полуинтервал $[1, 3)$.

Таким образом, область определения функции: $x \in [1, 3)$.

Ответ: $x \in [1, 3)$.

8.31 a) $y = \frac{\sqrt{7x + 1}}{x^2 - x - 2}$;

б) $y = \sqrt{\frac{3x + 7}{x + 2}};

В) $y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x^2 - 5x + 4};

Г) $y = \sqrt{\frac{x - 2}{5 - 2x}}.$

а) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{7x + 1}}{x^2 - x - 2}$ находится из системы двух условий: выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю.

1. Выражение под корнем: $7x + 1 \ge 0$.

Решаем неравенство: $7x \ge -1$, откуда $x \ge -\frac{1}{7}$.

2. Знаменатель не равен нулю: $x^2 - x - 2 \neq 0$.

Чтобы найти значения $x$, которые нужно исключить, решим квадратное уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, его корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq -1$.

Теперь объединим оба условия: $x \ge -\frac{1}{7}$ и $x \neq 2$. Условие $x \neq -1$ автоматически выполняется, так как $-1 < -\frac{1}{7}$.

Таким образом, область определения функции — это все числа, большие или равные $-\frac{1}{7}$, за исключением числа 2.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{7}, 2) \cup (2, +\infty)$.

б) Для функции $y = \sqrt{\frac{3x + 7}{x + 2}}$ область определения задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$\frac{3x + 7}{x + 2} \ge 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $3x + 7 = 0 \implies x = -\frac{7}{3}$. Так как неравенство нестрогое, эта точка входит в область определения.

Нуль знаменателя: $x + 2 = 0 \implies x = -2$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому эта точка исключается из области определения.

Наносим точки $-\frac{7}{3}$ (закрашенная) и $-2$ (выколотая) на числовую прямую и определяем знаки выражения $\frac{3x + 7}{x + 2}$ в полученных интервалах:

Интервал $(-\infty, -\frac{7}{3})$: знак (+). Например, при $x=-3$, $\frac{3(-3)+7}{-3+2} = \frac{-2}{-1}=2>0$.

Интервал $(-\frac{7}{3}, -2)$: знак (-). Например, при $x=-2.5$, $\frac{3(-2.5)+7}{-2.5+2} = \frac{-0.5}{-0.5}=1>0$. Ой, ошибка в примере. Возьмем $x=-2.2$. $\frac{3(-2.2)+7}{-2.2+2} = \frac{-6.6+7}{-0.2}=\frac{0.4}{-0.2}=-2<0$.

Интервал $(-2, +\infty)$: знак (+). Например, при $x=0$, $\frac{7}{2}>0$.

Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{7}{3}] \cup (-2, +\infty)$.

в) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{x - 2}}{x^2 - 5x + 4}$ находится из системы двух условий:

1. Выражение под корнем: $x - 2 \ge 0$.

Решаем неравенство: $x \ge 2$.

2. Знаменатель не равен нулю: $x^2 - 5x + 4 \neq 0$.

Решим уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, его корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq 4$.

Объединим условия: $x \ge 2$ и $x \neq 4$. Условие $x \neq 1$ автоматически выполняется, так как $1 < 2$.

Таким образом, область определения функции — это все числа, большие или равные 2, за исключением числа 4.

Ответ: $x \in [2, 4) \cup (4, +\infty)$.

г) Для функции $y = \sqrt{\frac{x - 2}{5 - 2x}}$ область определения задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$\frac{x - 2}{5 - 2x} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $x - 2 = 0 \implies x = 2$. Точка включается в область определения.

Нуль знаменателя: $5 - 2x = 0 \implies 2x=5 \implies x = 2.5$. Точка исключается из области определения.

Наносим точки $2$ (закрашенная) и $2.5$ (выколотая) на числовую прямую и определяем знаки выражения $\frac{x - 2}{5 - 2x}$ в интервалах:

Интервал $(-\infty, 2)$: знак (-). Например, при $x=0$, $\frac{-2}{5}<0$.

Интервал $(2, 2.5)$: знак (+). Например, при $x=2.1$, $\frac{2.1-2}{5-2(2.1)}=\frac{0.1}{0.8}>0$.

Интервал $(2.5, +\infty)$: знак (-). Например, при $x=3$, $\frac{3-2}{5-6}=\frac{1}{-1}<0$.

Выбираем интервал, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $x \in [2, 2.5)$.

8.32 a) $y = \frac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{x-3}};

б) $y = \frac{\sqrt{3x+1}}{\sqrt{7x-4}};

В) $y = \sqrt{\frac{2x+1}{x-3}};

Г) $y = \frac{\sqrt{3x+1}}{\sqrt{7x-4}}.

а) $y = \frac{\sqrt{2x + 1}}{\sqrt{x - 3}}$

Область определения функции (ОДЗ) находится из условий, что выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными, а знаменатель дроби не должен равняться нулю.

1. Выражение под корнем в числителе: $2x + 1 \ge 0$.

2. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным (поскольку деление на ноль недопустимо): $x - 3 > 0$.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} 2x + 1 \ge 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $2x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{2}$.

Решим второе неравенство: $x > 3$.

Для нахождения области определения нужно найти пересечение решений этих неравенств. На числовой оси отмечаем оба условия. Общим решением будет промежуток, где выполняются оба условия, то есть $x > 3$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

б) $y = \frac{\sqrt{3x + 1}}{\sqrt{7x - 4}}$

Аналогично предыдущему пункту, для нахождения области определения функции составим систему неравенств:

1. Подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным: $3x + 1 \ge 0$.

2. Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным: $7x - 4 > 0$.

Система неравенств:

$\begin{cases} 3x + 1 \ge 0 \\ 7x - 4 > 0 \end{cases}$

Решение первого неравенства: $3x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{3}$.

Решение второго неравенства: $7x > 4 \implies x > \frac{4}{7}$.

Найдём пересечение полученных решений. Так как $\frac{4}{7}$ (положительное число) больше, чем $-\frac{1}{3}$ (отрицательное число), то условие $x > \frac{4}{7}$ является более сильным. Следовательно, решением системы является $x > \frac{4}{7}$.

Ответ: $x \in (\frac{4}{7}; +\infty)$.

в) $y = \sqrt{\frac{2x + 1}{x - 3}}$

В данном случае вся дробь находится под одним знаком корня. Область определения функции определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$\frac{2x + 1}{x - 3} \ge 0$

Для решения этого дробно-рационального неравенства применим метод интервалов.

1. Найдём нули числителя: $2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$. Эта точка включается в решение, так как неравенство нестрогое.

2. Найдём нули знаменателя: $x - 3 = 0 \implies x = 3$. Эта точка исключается из решения, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Отметим точки $-\frac{1}{2}$ и $3$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -\frac{1}{2}]$, $(-\frac{1}{2}; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак дроби на каждом интервале, подставляя пробную точку:

— на интервале $(-\infty; -\frac{1}{2}]$ (например, $x=-1$): $\frac{2(-1)+1}{-1-3} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} > 0$. Знак "+", интервал подходит.
— на интервале $(-\frac{1}{2}; 3)$ (например, $x=0$): $\frac{2(0)+1}{0-3} = -\frac{1}{3} < 0$. Знак "-", интервал не подходит.
— на интервале $(3; +\infty)$ (например, $x=4$): $\frac{2(4)+1}{4-3} = \frac{9}{1} = 9 > 0$. Знак "+", интервал подходит.

Объединяем интервалы, на которых выражение неотрицательно.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}] \cup (3; +\infty)$.

г) $y = \sqrt{\frac{3x + 1}{7x - 4}}$

Область определения функции задаётся неравенством, согласно которому выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$\frac{3x + 1}{7x - 4} \ge 0$

Решаем неравенство методом интервалов.

1. Нуль числителя: $3x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{3}$. Точка включается в решение.

2. Нуль знаменателя: $7x - 4 = 0 \implies x = \frac{4}{7}$. Точка исключается из решения.

Точки $-\frac{1}{3}$ и $\frac{4}{7}$ делят числовую ось на интервалы. Проверим знак дроби в каждом из них:

— на интервале $(-\infty; -\frac{1}{3}]$ (например, $x=-1$): $\frac{3(-1)+1}{7(-1)-4} = \frac{-2}{-11} > 0$. Знак "+", интервал подходит.
— на интервале $(-\frac{1}{3}; \frac{4}{7})$ (например, $x=0$): $\frac{3(0)+1}{7(0)-4} = -\frac{1}{4} < 0$. Знак "-", интервал не подходит.
— на интервале $(\frac{4}{7}; +\infty)$ (например, $x=1$): $\frac{3(1)+1}{7(1)-4} = \frac{4}{3} > 0$. Знак "+", интервал подходит.

Объединяем интервалы, где выражение неотрицательно.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}] \cup (\frac{4}{7}; +\infty)$.

8.33 Задайте аналитически (формулой) функцию с указанной областью определения (придумайте возможный вариант):

а) $[1; 5] \cup [7; 9]$;

б) $[2; 3] \cup [6; 10]$;

в) $(-2; -1) \cup (1; 2)$;

г) $(-5; -2) \cup [1; 4]$.

а) Для того чтобы задать функцию с областью определения в виде объединения двух замкнутых промежутков $[a; b] \cup [c; d]$, можно использовать функцию вида $y = \sqrt{P(x)}$, где $P(x)$ — это многочлен, который принимает неотрицательные значения именно на указанном множестве.

Рассмотрим многочлен, корнями которого являются концы заданных промежутков: $1, 5, 7, 9$. Возьмем многочлен $P(x) = -(x-1)(x-5)(x-7)(x-9)$. Это многочлен четвертой степени с отрицательным старшим коэффициентом. Он будет принимать неотрицательные значения между первой и второй парой корней.

Таким образом, неравенство $-(x-1)(x-5)(x-7)(x-9) \ge 0$ выполняется при $x \in [1; 5] \cup [7; 9]$. Следовательно, функция, заданная формулой ниже, имеет требуемую область определения.

Ответ: $y = \sqrt{-(x-1)(x-5)(x-7)(x-9)}$

б) Действуя аналогично предыдущему пункту, для области определения $[2; 3] \cup [6; 10]$ мы можем построить функцию, используя ту же логику. Концами промежутков являются числа $2, 3, 6, 10$.

Составим многочлен, который будет неотрицателен на заданном множестве: $P(x) = -(x-2)(x-3)(x-6)(x-10)$.

Функция $y=\sqrt{-(x-2)(x-3)(x-6)(x-10)}$ будет иметь своей областью определения множество всех $x$, для которых подкоренное выражение неотрицательно, то есть $x \in [2; 3] \cup [6; 10]$.

Ответ: $y = \sqrt{-(x-2)(x-3)(x-6)(x-10)}$

в) Требуемая область определения $(-2; -1) \cup (1; 2)$ является объединением двух открытых интервалов. Это означает, что на границах интервалов (в точках $-2, -1, 1, 2$) функция должна быть не определена.

Используем ту же идею с многочленом $P(x) = -(x-(-2))(x-(-1))(x-1)(x-2)) = -(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)$. Этот многочлен положителен на интервалах $(-2; -1)$ и $(1; 2)$.

Чтобы исключить концы интервалов, нужно, чтобы выражение, определяющее область определения, было строго положительным. Этого можно достичь, поместив корень из многочлена в знаменатель дроби. В этом случае подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.

Функция $y = \frac{1}{\sqrt{-(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)}}$ определена, когда $-(x+2)(x+1)(x-1)(x-2) > 0$, что соответствует области $(-2; -1) \cup (1; 2)$. Выражение под корнем можно также записать как $-(x^2-4)(x^2-1)$.

Ответ: $y = \frac{1}{\sqrt{-(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)}}$

г) В данном случае область определения $(-5; -2) \cup [1; 4]$ является объединением открытого и замкнутого промежутков. Это значит, что в точках $x=-5$ и $x=-2$ функция не определена, а в точках $x=1$ и $x=4$ — определена.

Такую структуру можно реализовать с помощью дробно-рационального выражения под знаком корня. Множители, соответствующие концам открытого интервала, поместим в знаменатель, а множители, соответствующие концам замкнутого — в числитель.

Рассмотрим функцию вида $y = \sqrt{\frac{P(x)}{Q(x)}}$. Ее область определения задается условием $\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0$.

Чтобы получить замкнутый промежуток $[1; 4]$, выражение в числителе должно быть неотрицательным на этом отрезке. Например, $(x-1)(4-x) \ge 0$ при $x \in [1; 4]$. Чтобы получить открытый промежуток $(-5; -2)$, знаменатель должен обращаться в ноль в точках $-5$ и $-2$. Например, $(x+5)(x+2)$.

Проверим знак дроби $\frac{(x-1)(4-x)}{(x+5)(x+2)}$. Методом интервалов можно установить, что данное выражение неотрицательно ($\ge 0$) как раз на множестве $(-5; -2) \cup [1; 4]$.

Ответ: $y = \sqrt{\frac{(x-1)(4-x)}{(x+5)(x+2)}}$

8.34 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} x, \text{ если } x \le 0; \\ x^2, \text{ если } 0 < x < 2; \\ 4, \text{ если } 2 \le x \le 4. \end{cases}$

а) Укажите $D(f)$;

б) вычислите: $f(-2)$, $f(0)$, $f(2)$, $f(4)$, $f(8)$;

в) постройте график функции;

г) найдите $E(f)$.

а) Укажите D(f);

Область определения функции $D(f)$ — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. Данная функция определена на трех интервалах:

1. $x \le 0$, что соответствует промежутку $(-\infty; 0]$.
2. $0 < x < 2$, что соответствует промежутку $(0; 2)$.
3. $2 \le x \le 4$, что соответствует промежутку $[2; 4]$.

Область определения $D(f)$ является объединением этих трех промежутков:

$D(f) = (-\infty; 0] \cup (0; 2) \cup [2; 4]$

Объединяя эти множества, мы получаем один сплошной промежуток от $-\infty$ до $4$, включая $4$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 4]$.

б) вычислите: f(-2), f(0), f(2), f(4), f(8);

Для вычисления значений функции в заданных точках нужно определить, какому из трех интервалов принадлежит аргумент $x$ и использовать соответствующую формулу.

• Для $x = -2$: так как $-2 \le 0$, используем первую формулу $f(x) = x$.
  $f(-2) = -2$.
• Для $x = 0$: так как $0 \le 0$, используем первую формулу $f(x) = x$.
  $f(0) = 0$.
• Для $x = 2$: так как $2 \le 2 \le 4$, используем третью формулу $f(x) = 4$.
  $f(2) = 4$.
• Для $x = 4$: так как $2 \le 4 \le 4$, используем третью формулу $f(x) = 4$.
  $f(4) = 4$.
• Для $x = 8$: значение $x=8$ не входит в область определения функции $D(f) = (-\infty; 4]$, следовательно, значение $f(8)$ не определено.

Ответ: $f(-2) = -2$; $f(0) = 0$; $f(2) = 4$; $f(4) = 4$; $f(8)$ не существует.

в) постройте график функции;

График функции состоит из трех частей:

1. На промежутке $(-\infty; 0]$ график совпадает с графиком функции $y=x$. Это луч, выходящий из точки $(0;0)$ и проходящий через точку $(-1;-1)$. Точка $(0;0)$ включена.
2. На интервале $(0; 2)$ график совпадает с графиком функции $y=x^2$. Это часть параболы с вершиной в начале координат. Конечные точки интервала не включены, поэтому на графике будут выколотые точки $(0;0)$ и $(2;4)$. Однако точка $(0;0)$ уже включена первым участком.
3. На отрезке $[2; 4]$ график совпадает с графиком функции $y=4$. Это горизонтальный отрезок прямой, соединяющий точки $(2;4)$ и $(4;4)$. Обе конечные точки включены. Точка $(2;4)$ "закрашивает" выколотую точку от второго участка.

Итоговый график функции представлен на рисунке ниже.

Ответ: График функции построен и представлен на рисунке выше.

г) найдите E(f).

Область значений функции $E(f)$ — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Найдем область значений для каждой части функции:

• При $x \le 0$, $f(x) = x$. Множество значений на этом промежутке — $(-\infty; 0]$.
• При $0 < x < 2$, $f(x) = x^2$. Так как $x$ изменяется от $0$ до $2$ (не включая), $y$ изменяется от $0^2=0$ до $2^2=4$ (не включая). Множество значений — $(0; 4)$.
• При $2 \le x \le 4$, $f(x) = 4$. Функция постоянна и принимает только одно значение $y=4$. Множество значений — $\{4\}$.

Общая область значений $E(f)$ является объединением этих трех множеств:

$E(f) = (-\infty; 0] \cup (0; 4) \cup \{4\}$

Объединяя эти множества, получаем один сплошной промежуток от $-\infty$ до $4$, включая $4$.

Ответ: $E(f) = (-\infty; 4]$.

8.35 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 2x^2 - 4x + 1, \text{если } x \le 2; \\ -3(x - 2)^2 + 1, \text{если } 2 < x \le 3. \end{cases}$

а) Укажите $D(f)$;

б) вычислите: $f(0), f(2), f(3), f(4), f(5)$;

в) постройте график функции;

г) найдите $E(f)$.

а) Укажите D(f);

Область определения функции $D(f)$ – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Данная кусочно-заданная функция определена для двух промежутков:

1. $x \le 2$, что соответствует промежутку $(-\infty, 2]$.
2. $2 < x \le 3$, что соответствует промежутку $(2, 3]$.

Область определения функции $f(x)$ является объединением этих двух промежутков: $D(f) = (-\infty, 2] \cup (2, 3] = (-\infty, 3]$.

Ответ: $D(f) = (-\infty, 3]$.

б) вычислите: f(0), f(2), f(3), f(4), f(5);

Для вычисления значений функции используем соответствующую формулу в зависимости от значения аргумента $x$.

• Для $f(0)$: так как $0 \le 2$, используем первую формулу $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$.
  $f(0) = 2(0)^2 - 4(0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$.
• Для $f(2)$: так как $2 \le 2$, используем первую формулу $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$.
  $f(2) = 2(2)^2 - 4(2) + 1 = 2 \cdot 4 - 8 + 1 = 8 - 8 + 1 = 1$.
• Для $f(3)$: так как $2 < 3 \le 3$, используем вторую формулу $f(x) = -3(x - 2)^2 + 1$.
  $f(3) = -3(3 - 2)^2 + 1 = -3(1)^2 + 1 = -3 + 1 = -2$.
• Для $f(4)$: значение $x = 4$ не входит в область определения функции $D(f) = (-\infty, 3]$, поэтому значение $f(4)$ не определено.
• Для $f(5)$: значение $x = 5$ не входит в область определения функции $D(f) = (-\infty, 3]$, поэтому значение $f(5)$ не определено.

Ответ: $f(0) = 1$, $f(2) = 1$, $f(3) = -2$, $f(4)$ и $f(5)$ не определены.

в) постройте график функции;

График функции состоит из двух частей.

Первая часть – это график функции $y = 2x^2 - 4x + 1$ на промежутке $x \le 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины: $x_в = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$. $y_в = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$. Вершина параболы находится в точке $(1, -1)$. Так как $1 \le 2$, вершина принадлежит этой части графика. На границе промежутка при $x=2$ имеем $y = f(2) = 1$. Точка $(2, 1)$ является конечной точкой этой части графика и она закрашена (входит в график).

Вторая часть – это график функции $y = -3(x - 2)^2 + 1$ на промежутке $2 < x \le 3$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Ее вершина находится в точке $(2, 1)$. Так как для этой части $x > 2$, сама вершина не принадлежит графику. В точке $(2, 1)$ будет "выколотая" точка. На границе промежутка при $x=3$ имеем $y = f(3) = -2$. Точка $(3, -2)$ является конечной точкой этой части графика и она закрашена.

При объединении графиков точка $(2, 1)$ оказывается закрашенной, так как она принадлежит первой части графика. Таким образом, функция непрерывна в точке $x=2$. График представляет собой кривую, которая до точки $(1, -1)$ убывает, от $(1, -1)$ до $(2, 1)$ возрастает, а от $(2, 1)$ до $(3, -2)$ снова убывает.

Ответ: График состоит из части параболы $y=2x^2-4x+1$ с вершиной в $(1, -1)$, определенной для $x \le 2$, и части параболы $y=-3(x-2)^2+1$, определенной для $2 < x \le 3$, которая "начинается" в точке $(2, 1)$ и заканчивается в точке $(3, -2)$.

г) найдите E(f).

Область значений функции $E(f)$ – это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Найдем ее, проанализировав обе части функции.

1. На промежутке $(-\infty, 2]$ функция $y = 2x^2 - 4x + 1$ представляет собой параболу с ветвями вверх и вершиной в точке $(1, -1)$. Так как $x_в = 1$ принадлежит этому промежутку, минимальное значение функции на этом участке равно $y_в = -1$. Максимального значения нет, так как при $x \to -\infty$, $y \to +\infty$. Таким образом, область значений для этой части: $[-1, +\infty)$.

2. На промежутке $(2, 3]$ функция $y = -3(x - 2)^2 + 1$ является убывающей. Максимальное значение она принимает при $x$, стремящемся к 2, и это значение равно 1 (но не достигается). Минимальное значение достигается при $x=3$ и равно $f(3) = -2$. Таким образом, область значений для этой части: $[-2, 1)$.

Общая область значений функции $E(f)$ является объединением областей значений обеих частей: $E(f) = [-1, +\infty) \cup [-2, 1) = [-2, +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [-2, +\infty)$.