Страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

8.24 Является ли корректным задание: построить график функции $y = f(x)$, где

а) $f(x) = \begin{cases} x^2, \text{ если } -2 \le x \le 1; \\ x+1, \text{ если } 0 < x < 3; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, \text{ если } 0 \le x \le 4; \\ x^2, \text{ если } x \ge 4; \end{cases}$

в) $f(x) = \begin{cases} x^2, \text{ если } -2 \le x \le 0; \\ x+1, \text{ если } 1 \le x \le 3; \end{cases}$

г) $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, \text{ если } 0 \le x \le 4; \\ \frac{x^2}{8}, \text{ если } x \ge 4? \end{cases}$

а) Для того чтобы задание было корректным, данное выражение должно задавать функцию. По определению, функция каждому значению аргумента $x$ из области определения ставит в соответствие единственное значение $y$.
В данном случае функция задана двумя формулами на разных промежутках:
$f(x) = x^2$, если $-2 \le x \le 1$.
$f(x) = x + 1$, если $0 < x < 3$.
Найдем пересечение этих промежутков: $[-2, 1] \cap (0, 3) = (0, 1]$.
На этом интервале $(0, 1]$ значение функции $f(x)$ должно быть определено однозначно. То есть, для любого $x \in (0, 1]$ должно выполняться равенство $x^2 = x + 1$.
Решим уравнение $x^2 - x - 1 = 0$. Его корни $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Ни один из этих корней не принадлежит интервалу $(0, 1]$. Это означает, что для всех $x \in (0, 1]$ значения, вычисленные по двум формулам, не совпадают.
Например, возьмем точку $x=1$. Согласно первому условию, $f(1) = 1^2 = 1$. Согласно второму условию, $f(1) = 1 + 1 = 2$.
Поскольку $1 \neq 2$, для одного и того же значения аргумента $x=1$ мы получили два разных значения функции. Это противоречит определению функции.
Следовательно, задание некорректно.
Ответ: некорректно.

б) Проверим, является ли данное выражение функцией.
Функция задана формулами:
$f(x) = \sqrt{x}$, если $0 \le x \le 4$.
$f(x) = x^2$, если $x \ge 4$.
Область определения первой части — $[0, 4]$, второй — $[4, +\infty)$.
Найдем пересечение этих областей: $[0, 4] \cap [4, +\infty) = \{4\}$.
Пересечение состоит из одной точки $x=4$. Для корректности задания необходимо, чтобы значения функции, вычисленные по обеим формулам в этой точке, совпадали.
Вычислим значение функции в точке $x=4$ по обеим формулам:
По первой формуле: $f(4) = \sqrt{4} = 2$.
По второй формуле: $f(4) = 4^2 = 16$.
Так как $2 \neq 16$, в точке $x=4$ функция имеет два разных значения, что противоречит определению функции.
Следовательно, задание некорректно.
Ответ: некорректно.

в) Проверим корректность задания.
Функция задана формулами:
$f(x) = x^2$, если $-2 \le x \le 0$.
$f(x) = x + 1$, если $1 \le x \le 3$.
Области определения для двух частей: $[-2, 0]$ и $[1, 3]$.
Найдем пересечение этих областей: $[-2, 0] \cap [1, 3] = \emptyset$.
Так как пересечение областей определения пусто, не существует такого значения $x$, для которого значение функции вычислялось бы по двум разным формулам одновременно. Каждому значению $x$ из общей области определения $D = [-2, 0] \cup [1, 3]$ соответствует ровно одно значение $y$. Тот факт, что функция не определена на интервале $(0, 1)$, не делает ее задание некорректным. Это просто означает, что область определения функции имеет разрыв.
Следовательно, данное выражение корректно задает функцию, и можно построить ее график.
Ответ: корректно.

г) Проверим, является ли данное выражение функцией.
Функция задана формулами:
$f(x) = \sqrt{x}$, если $0 \le x \le 4$.
$f(x) = \frac{x^2}{8}$, если $x \ge 4$.
Область определения первой части — $[0, 4]$, второй — $[4, +\infty)$.
Найдем пересечение этих областей: $[0, 4] \cap [4, +\infty) = \{4\}$.
Пересечение состоит из одной точки $x=4$. Для корректности задания необходимо, чтобы значения функции в этой точке, вычисленные по обеим формулам, совпадали.
Вычислим значение функции в точке $x=4$ по обеим формулам:
По первой формуле: $f(4) = \sqrt{4} = 2$.
По второй формуле: $f(4) = \frac{4^2}{8} = \frac{16}{8} = 2$.
Так как значения совпали ($2 = 2$), в точке $x=4$ значение функции определено однозначно. Для любого другого $x$ из области определения $[0, +\infty)$ значение также определяется однозначно.
Следовательно, задание корректно, так как данное выражение задает функцию.
Ответ: корректно.

Найдите область определения функции:

8.25 а) $y = \frac{1}{(x+1)(x^2 - 7x - 8)};$

б) $y = \frac{x+1}{(x^2 - 9)(x^2 + x - 2)};$

В) $y = \frac{x}{(x^2 - 1)(x^2 - 2x - 15)};$

Г) $y = \frac{3}{(x+5)(x^2 - 5x - 6)}.$

а) $y = \frac{1}{(x + 1)(x^2 - 7x - 8)}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной дроби знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому мы должны найти значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключить их из множества всех действительных чисел.

Приравняем знаменатель к нулю:

$(x + 1)(x^2 - 7x - 8) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$

2) $x^2 - 7x - 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 9}{2}$

$x_2 = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_3 = \frac{7 - 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, знаменатель обращается в ноль при $x = -1$ и $x = 8$. Эти значения необходимо исключить из области определения функции.

Ответ: Область определения функции $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 8) \cup (8; +\infty)$.

б) $y = \frac{x + 1}{(x^2 - 9)(x^2 + x - 2)}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$(x^2 - 9)(x^2 + x - 2) \neq 0$

Это условие выполняется, когда каждый из множителей не равен нулю.

1) $x^2 - 9 \neq 0$

$x^2 \neq 9$

$x \neq \pm 3$

2) $x^2 + x - 2 \neq 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -2$

Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq -2$.

Исключаем из области определения значения $x = -3, x = -2, x = 1, x = 3$.

Ответ: Область определения функции $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; -2) \cup (-2; 1) \cup (1; 3) \cup (3; +\infty)$.

в) $y = \frac{x}{(x^2 - 1)(x^2 - 2x - 15)}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$(x^2 - 1)(x^2 - 2x - 15) \neq 0$

Рассмотрим каждый множитель отдельно.

1) $x^2 - 1 \neq 0$

$x^2 \neq 1$

$x \neq \pm 1$

2) $x^2 - 2x - 15 \neq 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 2$

$x_1 \cdot x_2 = -15$

Корнями являются $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.

Следовательно, $x \neq 5$ и $x \neq -3$.

Исключаем из области определения значения $x = -3, x = -1, x = 1, x = 5$.

Ответ: Область определения функции $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; 5) \cup (5; +\infty)$.

г) $y = \frac{3}{(x + 5)(x^2 - 5x - 6)}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$(x + 5)(x^2 - 5x - 6) \neq 0$

Рассмотрим каждый множитель отдельно.

1) $x + 5 \neq 0$

$x \neq -5$

2) $x^2 - 5x - 6 \neq 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = -6$

Корнями являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.

Следовательно, $x \neq 6$ и $x \neq -1$.

Исключаем из области определения значения $x = -5, x = -1, x = 6$.

Ответ: Область определения функции $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; -1) \cup (-1; 6) \cup (6; +\infty)$.

8.26 a) $y = \frac{\sqrt{3x - 2}}{x^2 - x + 2};$

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 3x - 4}}{16 - x^2};$

В) $y = \frac{\sqrt{x + 2}}{3 - 2x + x^2};$

Г) $y = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{1 - 4x^2}.$

а)

Область определения функции $y = \frac{\sqrt{3x - 2}}{x^2 - x + 2}$ задается системой из двух условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $3x - 2 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^2 - x + 2 \ne 0$.

Решим первое неравенство:

$3x - 2 \ge 0 \Rightarrow 3x \ge 2 \Rightarrow x \ge \frac{2}{3}$.

Рассмотрим второе условие. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x + 2 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), а старший коэффициент ($a = 1$) положителен, квадратный трехчлен $x^2 - x + 2$ всегда принимает положительные значения. Следовательно, знаменатель не обращается в ноль ни при каких значениях $x$.

Таким образом, область определения функции определяется только первым условием.

Ответ: $[\frac{2}{3}; +\infty)$.

б)

Область определения функции $y = \frac{\sqrt{x^2 - 3x - 4}}{16 - x^2}$ задается системой из двух условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x^2 - 3x - 4 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $16 - x^2 \ne 0$.

Решим первое неравенство $x^2 - 3x - 4 \ge 0$. Сначала найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$:

$x_1 = -1$, $x_2 = 4$ (по теореме Виета или через дискриминант).

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на промежутках $(-\infty; -1] \cup [4; +\infty)$.

Решим второе условие:

$16 - x^2 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 16 \Rightarrow x \ne \pm 4$.

Теперь объединим результаты. Из первого условия мы получили $x \in (-\infty; -1] \cup [4; +\infty)$. Из второго условия мы должны исключить точки $x = 4$ и $x = -4$.

Точка $x = 4$ исключается из промежутка $[4; +\infty)$, получаем $(4; +\infty)$.

Точка $x = -4$ находится в промежутке $(-\infty; -1]$, поэтому ее также нужно исключить.

В итоге получаем объединение промежутков.

Ответ: $(-\infty; -4) \cup (-4; -1] \cup (4; +\infty)$.

в)

Область определения функции $y = \frac{\sqrt{x + 2}}{3 - 2x + x^2}$ задается системой из двух условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x + 2 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^2 - 2x + 3 \ne 0$.

Решим первое неравенство:

$x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$.

Рассмотрим второе условие. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x + 3 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), а старший коэффициент ($a = 1$) положителен, квадратный трехчлен $x^2 - 2x + 3$ всегда принимает положительные значения. Следовательно, знаменатель не обращается в ноль ни при каких значениях $x$.

Таким образом, область определения функции определяется только первым условием.

Ответ: $[-2; +\infty)$.

г)

Область определения функции $y = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{1 - 4x^2}$ задается системой из двух условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $4 - x^2 \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $1 - 4x^2 \ne 0$.

Решим первое неравенство:

$4 - x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 4 \Rightarrow -2 \le x \le 2$.

Таким образом, $x \in [-2; 2]$.

Решим второе условие:

$1 - 4x^2 \ne 0 \Rightarrow 4x^2 \ne 1 \Rightarrow x^2 \ne \frac{1}{4} \Rightarrow x \ne \pm \frac{1}{2}$.

Объединим результаты. Из промежутка $[-2; 2]$ необходимо исключить точки $x = \frac{1}{2}$ и $x = -\frac{1}{2}$. Обе эти точки принадлежат данному промежутку.

Разбиваем промежуток $[-2; 2]$ на части, исключая указанные точки.

Ответ: $[-2; -0,5) \cup (-0,5; 0,5) \cup (0,5; 2]$.

8.27 a) $y = \frac{3 - 2x}{\sqrt{5x + 2}}$

Б) $y = \frac{4x + 5}{\sqrt{2 - 4x}}$

В) $y = \frac{4 - 3x}{\sqrt{x + 3}}$

Г) $y = \frac{1 + x}{\sqrt{4 - x}}$

a) Для нахождения области определения функции $y = \frac{3-2x}{\sqrt{5x+2}}$, необходимо, чтобы выражение под знаком квадратного корня в знаменателе было строго положительным. Это связано с тем, что знаменатель не может быть равен нулю, а подкоренное выражение не может быть отрицательным.
Составим и решим неравенство:
$5x + 2 > 0$
$5x > -2$
$x > -\frac{2}{5}$
$x > -0.4$
Ответ: $x \in (-0.4; +\infty)$.

б) Для функции $y = \frac{4x+5}{\sqrt{2-4x}}$ область определения находится из условия, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля.
Решим неравенство:
$2 - 4x > 0$
$2 > 4x$
$\frac{2}{4} > x$
$x < \frac{1}{2}$
$x < 0.5$
Ответ: $x \in (-\infty; 0.5)$.

в) Для функции $y = \frac{4-3x}{\sqrt{x+3}}$ область определения находится из условия, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля.
Решим неравенство:
$x + 3 > 0$
$x > -3$
Ответ: $x \in (-3; +\infty)$.

г) Для функции $y = \frac{1+x}{\sqrt{4-x}}$ область определения находится из условия, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля.
Решим неравенство:
$4 - x > 0$
$4 > x$
Ответ: $x \in (-\infty; 4)$.

8.28 a) $y = \sqrt{x^{-1}(x + 4)};$

б) $y = \sqrt{(3x + 2)x^{-2}};$

В) $y = \sqrt{x(x + 4)^{-1}};$

Г) $y = \sqrt{-x(2x - 3)^{-2}}.$

а) Дана функция $y = \sqrt{x^{-1}(x+4)}$. Для нахождения области определения функции необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Преобразуем выражение в подкоренной части, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$x^{-1}(x+4) = \frac{1}{x}(x+4) = \frac{x+4}{x}$

Теперь решим неравенство:

$\frac{x+4}{x} \ge 0$

Используем метод интервалов. Находим нули числителя и знаменателя:

$x+4 = 0 \Rightarrow x = -4$

$x = 0$

Точка $x=-4$ включается в решение (неравенство нестрогое), а точка $x=0$ исключается (знаменатель не может быть равен нулю). Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -4]$, $(-4, 0)$ и $(0, \infty)$. Определяем знак выражения на каждом интервале:

• При $x > 0$ (например, $x=1$), дробь $\frac{1+4}{1} > 0$.
• При $-4 < x < 0$ (например, $x=-1$), дробь $\frac{-1+4}{-1} < 0$.
• При $x \le -4$ (например, $x=-5$), дробь $\frac{-5+4}{-5} > 0$.

Выбираем интервалы, где выражение неотрицательно.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup (0, \infty)$.

б) Дана функция $y = \sqrt{(3x+2)x^{-2}}$. Преобразуем подкоренное выражение:

$(3x+2)x^{-2} = \frac{3x+2}{x^2}$

Решаем неравенство для нахождения области определения:

$\frac{3x+2}{x^2} \ge 0$

Знаменатель $x^2$ положителен при всех $x \ne 0$. При $x=0$ выражение не определено. Таким образом, знак дроби зависит только от знака числителя. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 3x+2 \ge 0 \\ x \ne 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $3x \ge -2$, то есть $x \ge -\frac{2}{3}$. Объединяя с условием $x \ne 0$, получаем искомое множество.

Ответ: $x \in [-\frac{2}{3}, 0) \cup (0, \infty)$.

в) Дана функция $y = \sqrt{x(x+4)^{-1}}$. Преобразуем подкоренное выражение:

$x(x+4)^{-1} = \frac{x}{x+4}$

Решаем неравенство для нахождения области определения:

$\frac{x}{x+4} \ge 0$

Используем метод интервалов. Нули числителя и знаменателя:

$x = 0$

$x+4 = 0 \Rightarrow x = -4$

Точка $x=0$ включается, точка $x=-4$ исключается. Точки делят числовую прямую на интервалы $(-\infty, -4)$, $(-4, 0]$ и $[0, \infty)$. Определяем знаки:

• При $x \ge 0$ (например, $x=1$), дробь $\frac{1}{1+4} > 0$.
• При $-4 < x < 0$ (например, $x=-1$), дробь $\frac{-1}{-1+4} < 0$.
• При $x < -4$ (например, $x=-5$), дробь $\frac{-5}{-5+4} > 0$.

Выбираем интервалы, где выражение неотрицательно.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup [0, \infty)$.

г) Дана функция $y = \sqrt{-x(2x-3)^{-2}}$. Преобразуем подкоренное выражение:

$-x(2x-3)^{-2} = \frac{-x}{(2x-3)^2}$

Решаем неравенство для нахождения области определения:

$\frac{-x}{(2x-3)^2} \ge 0$

Знаменатель $(2x-3)^2$ положителен при всех $x$, кроме $x$ при котором $2x-3=0$, то есть $x = \frac{3}{2}$. При $x = \frac{3}{2}$ выражение не определено. Знак дроби зависит от знака числителя. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} -x \ge 0 \\ x \ne \frac{3}{2} \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \le 0$. Условие $x \ne \frac{3}{2}$ выполняется автоматически, так как $\frac{3}{2} > 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.

8.29 a) $y = \frac{\sqrt{3x - 4}}{\sqrt{x^2 - 1}};

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{\sqrt{x + 3}};

в) $y = \frac{\sqrt{2x + 6}}{\sqrt{16 - x^2}};

г) $y = \frac{\sqrt{2x^2 - 50}}{\sqrt{2x - 3}}.$

а)

Чтобы найти область определения функции $y = \frac{\sqrt{3x - 4}}{\sqrt{x^2 - 1}}$, необходимо, чтобы выполнялись два условия:
1. Выражение под знаком корня в числителе должно быть неотрицательным: $3x - 4 \ge 0$.
2. Выражение под знаком корня в знаменателе должно быть строго положительным (поскольку корень находится в знаменателе, его значение не может быть равно нулю): $x^2 - 1 > 0$.
Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 3x - 4 \ge 0 \\ x^2 - 1 > 0 \end{cases}$
Из первого неравенства получаем:
$3x \ge 4$
$x \ge \frac{4}{3}$
Решим второе неравенство:
$x^2 > 1$
$(x-1)(x+1) > 0$
Это неравенство выполняется, когда $x < -1$ или $x > 1$.
Найдем пересечение решений: $x \ge \frac{4}{3}$ и ($x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$).
Поскольку $\frac{4}{3} \approx 1.33$, что больше 1, то пересечением этих множеств является промежуток $x \ge \frac{4}{3}$.

Ответ: $x \in [\frac{4}{3}, +\infty)$.

б)

Для функции $y = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{\sqrt{x + 3}}$ область определения находится из системы неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$x^2 \ge 4$
$(x-2)(x+2) \ge 0$
Это выполняется при $x \le -2$ или $x \ge 2$.
Решим второе неравенство:
$x > -3$
Найдем пересечение решений: ($x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$) и $x \in (-3, +\infty)$.
Пересекая интервал $(-3, +\infty)$ с объединением $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$, получаем:
1) Пересечение $(-3, +\infty)$ и $(-\infty, -2]$ дает $(-3, -2]$.
2) Пересечение $(-3, +\infty)$ и $[2, +\infty)$ дает $[2, +\infty)$.
Объединяя эти два результата, получаем область определения.

Ответ: $x \in (-3, -2] \cup [2, +\infty)$.

в)

Для функции $y = \frac{\sqrt{2x + 6}}{\sqrt{16 - x^2}}$ область определения находится из системы неравенств:
$\begin{cases} 2x + 6 \ge 0 \\ 16 - x^2 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$2x \ge -6$
$x \ge -3$
Решим второе неравенство:
$x^2 < 16$
$(x-4)(x+4) < 0$
Это неравенство выполняется при $-4 < x < 4$.
Найдем пересечение решений: $x \ge -3$ и $-4 < x < 4$.
Пересечением интервалов $[-3, +\infty)$ и $(-4, 4)$ является интервал $[-3, 4)$.

Ответ: $x \in [-3, 4)$.

г)

Для функции $y = \frac{\sqrt{2x^2 - 50}}{\sqrt{2x - 3}}$ область определения находится из системы неравенств:
$\begin{cases} 2x^2 - 50 \ge 0 \\ 2x - 3 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$2(x^2 - 25) \ge 0$
$x^2 \ge 25$
Это выполняется при $x \le -5$ или $x \ge 5$.
Решим второе неравенство:
$2x > 3$
$x > \frac{3}{2}$
Найдем пересечение решений: ($x \in (-\infty, -5] \cup [5, +\infty)$) и $x \in (\frac{3}{2}, +\infty)$.
Интервал $(\frac{3}{2}, +\infty)$ не имеет общих точек с интервалом $(-\infty, -5]$.
Пересечение интервала $(\frac{3}{2}, +\infty)$ с интервалом $[5, +\infty)$ дает $[5, +\infty)$.
Следовательно, областью определения является данный промежуток.

Ответ: $x \in [5, +\infty)$.