Номер 8.29, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.29 a) $y = \frac{\sqrt{3x - 4}}{\sqrt{x^2 - 1}};

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{\sqrt{x + 3}};

в) $y = \frac{\sqrt{2x + 6}}{\sqrt{16 - x^2}};

г) $y = \frac{\sqrt{2x^2 - 50}}{\sqrt{2x - 3}}.$

а)

Чтобы найти область определения функции $y = \frac{\sqrt{3x - 4}}{\sqrt{x^2 - 1}}$, необходимо, чтобы выполнялись два условия:
1. Выражение под знаком корня в числителе должно быть неотрицательным: $3x - 4 \ge 0$.
2. Выражение под знаком корня в знаменателе должно быть строго положительным (поскольку корень находится в знаменателе, его значение не может быть равно нулю): $x^2 - 1 > 0$.
Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 3x - 4 \ge 0 \\ x^2 - 1 > 0 \end{cases}$
Из первого неравенства получаем:
$3x \ge 4$
$x \ge \frac{4}{3}$
Решим второе неравенство:
$x^2 > 1$
$(x-1)(x+1) > 0$
Это неравенство выполняется, когда $x < -1$ или $x > 1$.
Найдем пересечение решений: $x \ge \frac{4}{3}$ и ($x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$).
Поскольку $\frac{4}{3} \approx 1.33$, что больше 1, то пересечением этих множеств является промежуток $x \ge \frac{4}{3}$.

Ответ: $x \in [\frac{4}{3}, +\infty)$.

б)

Для функции $y = \frac{\sqrt{x^2 - 4}}{\sqrt{x + 3}}$ область определения находится из системы неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$x^2 \ge 4$
$(x-2)(x+2) \ge 0$
Это выполняется при $x \le -2$ или $x \ge 2$.
Решим второе неравенство:
$x > -3$
Найдем пересечение решений: ($x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$) и $x \in (-3, +\infty)$.
Пересекая интервал $(-3, +\infty)$ с объединением $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$, получаем:
1) Пересечение $(-3, +\infty)$ и $(-\infty, -2]$ дает $(-3, -2]$.
2) Пересечение $(-3, +\infty)$ и $[2, +\infty)$ дает $[2, +\infty)$.
Объединяя эти два результата, получаем область определения.

Ответ: $x \in (-3, -2] \cup [2, +\infty)$.

в)

Для функции $y = \frac{\sqrt{2x + 6}}{\sqrt{16 - x^2}}$ область определения находится из системы неравенств:
$\begin{cases} 2x + 6 \ge 0 \\ 16 - x^2 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$2x \ge -6$
$x \ge -3$
Решим второе неравенство:
$x^2 < 16$
$(x-4)(x+4) < 0$
Это неравенство выполняется при $-4 < x < 4$.
Найдем пересечение решений: $x \ge -3$ и $-4 < x < 4$.
Пересечением интервалов $[-3, +\infty)$ и $(-4, 4)$ является интервал $[-3, 4)$.

Ответ: $x \in [-3, 4)$.

г)

Для функции $y = \frac{\sqrt{2x^2 - 50}}{\sqrt{2x - 3}}$ область определения находится из системы неравенств:
$\begin{cases} 2x^2 - 50 \ge 0 \\ 2x - 3 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$2(x^2 - 25) \ge 0$
$x^2 \ge 25$
Это выполняется при $x \le -5$ или $x \ge 5$.
Решим второе неравенство:
$2x > 3$
$x > \frac{3}{2}$
Найдем пересечение решений: ($x \in (-\infty, -5] \cup [5, +\infty)$) и $x \in (\frac{3}{2}, +\infty)$.
Интервал $(\frac{3}{2}, +\infty)$ не имеет общих точек с интервалом $(-\infty, -5]$.
Пересечение интервала $(\frac{3}{2}, +\infty)$ с интервалом $[5, +\infty)$ дает $[5, +\infty)$.
Следовательно, областью определения является данный промежуток.

Ответ: $x \in [5, +\infty)$.