Номер 8.33, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.33 Задайте аналитически (формулой) функцию с указанной областью определения (придумайте возможный вариант):

а) $[1; 5] \cup [7; 9]$;

б) $[2; 3] \cup [6; 10]$;

в) $(-2; -1) \cup (1; 2)$;

г) $(-5; -2) \cup [1; 4]$.

а) Для того чтобы задать функцию с областью определения в виде объединения двух замкнутых промежутков $[a; b] \cup [c; d]$, можно использовать функцию вида $y = \sqrt{P(x)}$, где $P(x)$ — это многочлен, который принимает неотрицательные значения именно на указанном множестве.

Рассмотрим многочлен, корнями которого являются концы заданных промежутков: $1, 5, 7, 9$. Возьмем многочлен $P(x) = -(x-1)(x-5)(x-7)(x-9)$. Это многочлен четвертой степени с отрицательным старшим коэффициентом. Он будет принимать неотрицательные значения между первой и второй парой корней.

Таким образом, неравенство $-(x-1)(x-5)(x-7)(x-9) \ge 0$ выполняется при $x \in [1; 5] \cup [7; 9]$. Следовательно, функция, заданная формулой ниже, имеет требуемую область определения.

Ответ: $y = \sqrt{-(x-1)(x-5)(x-7)(x-9)}$

б) Действуя аналогично предыдущему пункту, для области определения $[2; 3] \cup [6; 10]$ мы можем построить функцию, используя ту же логику. Концами промежутков являются числа $2, 3, 6, 10$.

Составим многочлен, который будет неотрицателен на заданном множестве: $P(x) = -(x-2)(x-3)(x-6)(x-10)$.

Функция $y=\sqrt{-(x-2)(x-3)(x-6)(x-10)}$ будет иметь своей областью определения множество всех $x$, для которых подкоренное выражение неотрицательно, то есть $x \in [2; 3] \cup [6; 10]$.

Ответ: $y = \sqrt{-(x-2)(x-3)(x-6)(x-10)}$

в) Требуемая область определения $(-2; -1) \cup (1; 2)$ является объединением двух открытых интервалов. Это означает, что на границах интервалов (в точках $-2, -1, 1, 2$) функция должна быть не определена.

Используем ту же идею с многочленом $P(x) = -(x-(-2))(x-(-1))(x-1)(x-2)) = -(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)$. Этот многочлен положителен на интервалах $(-2; -1)$ и $(1; 2)$.

Чтобы исключить концы интервалов, нужно, чтобы выражение, определяющее область определения, было строго положительным. Этого можно достичь, поместив корень из многочлена в знаменатель дроби. В этом случае подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.

Функция $y = \frac{1}{\sqrt{-(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)}}$ определена, когда $-(x+2)(x+1)(x-1)(x-2) > 0$, что соответствует области $(-2; -1) \cup (1; 2)$. Выражение под корнем можно также записать как $-(x^2-4)(x^2-1)$.

Ответ: $y = \frac{1}{\sqrt{-(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)}}$

г) В данном случае область определения $(-5; -2) \cup [1; 4]$ является объединением открытого и замкнутого промежутков. Это значит, что в точках $x=-5$ и $x=-2$ функция не определена, а в точках $x=1$ и $x=4$ — определена.

Такую структуру можно реализовать с помощью дробно-рационального выражения под знаком корня. Множители, соответствующие концам открытого интервала, поместим в знаменатель, а множители, соответствующие концам замкнутого — в числитель.

Рассмотрим функцию вида $y = \sqrt{\frac{P(x)}{Q(x)}}$. Ее область определения задается условием $\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0$.

Чтобы получить замкнутый промежуток $[1; 4]$, выражение в числителе должно быть неотрицательным на этом отрезке. Например, $(x-1)(4-x) \ge 0$ при $x \in [1; 4]$. Чтобы получить открытый промежуток $(-5; -2)$, знаменатель должен обращаться в ноль в точках $-5$ и $-2$. Например, $(x+5)(x+2)$.

Проверим знак дроби $\frac{(x-1)(4-x)}{(x+5)(x+2)}$. Методом интервалов можно установить, что данное выражение неотрицательно ($\ge 0$) как раз на множестве $(-5; -2) \cup [1; 4]$.

Ответ: $y = \sqrt{\frac{(x-1)(4-x)}{(x+5)(x+2)}}$