Номер 8.25, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите область определения функции:

8.25 а) $y = \frac{1}{(x+1)(x^2 - 7x - 8)};$

б) $y = \frac{x+1}{(x^2 - 9)(x^2 + x - 2)};$

В) $y = \frac{x}{(x^2 - 1)(x^2 - 2x - 15)};$

Г) $y = \frac{3}{(x+5)(x^2 - 5x - 6)}.$

а) $y = \frac{1}{(x + 1)(x^2 - 7x - 8)}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной дроби знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому мы должны найти значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключить их из множества всех действительных чисел.

Приравняем знаменатель к нулю:

$(x + 1)(x^2 - 7x - 8) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$

2) $x^2 - 7x - 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 9}{2}$

$x_2 = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_3 = \frac{7 - 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, знаменатель обращается в ноль при $x = -1$ и $x = 8$. Эти значения необходимо исключить из области определения функции.

Ответ: Область определения функции $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 8) \cup (8; +\infty)$.

б) $y = \frac{x + 1}{(x^2 - 9)(x^2 + x - 2)}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$(x^2 - 9)(x^2 + x - 2) \neq 0$

Это условие выполняется, когда каждый из множителей не равен нулю.

1) $x^2 - 9 \neq 0$

$x^2 \neq 9$

$x \neq \pm 3$

2) $x^2 + x - 2 \neq 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -2$

Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq -2$.

Исключаем из области определения значения $x = -3, x = -2, x = 1, x = 3$.

Ответ: Область определения функции $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; -2) \cup (-2; 1) \cup (1; 3) \cup (3; +\infty)$.

в) $y = \frac{x}{(x^2 - 1)(x^2 - 2x - 15)}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$(x^2 - 1)(x^2 - 2x - 15) \neq 0$

Рассмотрим каждый множитель отдельно.

1) $x^2 - 1 \neq 0$

$x^2 \neq 1$

$x \neq \pm 1$

2) $x^2 - 2x - 15 \neq 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 2$

$x_1 \cdot x_2 = -15$

Корнями являются $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.

Следовательно, $x \neq 5$ и $x \neq -3$.

Исключаем из области определения значения $x = -3, x = -1, x = 1, x = 5$.

Ответ: Область определения функции $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; 5) \cup (5; +\infty)$.

г) $y = \frac{3}{(x + 5)(x^2 - 5x - 6)}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$(x + 5)(x^2 - 5x - 6) \neq 0$

Рассмотрим каждый множитель отдельно.

1) $x + 5 \neq 0$

$x \neq -5$

2) $x^2 - 5x - 6 \neq 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = -6$

Корнями являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.

Следовательно, $x \neq 6$ и $x \neq -1$.

Исключаем из области определения значения $x = -5, x = -1, x = 6$.

Ответ: Область определения функции $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; -1) \cup (-1; 6) \cup (6; +\infty)$.