Номер 8.18, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Придумайте функцию с указанной областью определения:

8.18 а) $(-\infty; +\infty)$;

б) $(0; +\infty)$;

в) $(-\infty; 0)$;

г) $(-10; +\infty)$.

а) Требуется придумать функцию, область определения которой — все действительные числа, то есть интервал $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любого действительного значения аргумента $x$ функция должна иметь определенное значение.

Этому условию удовлетворяют многие классы функций:

• Все многочлены, например, линейная функция $y = kx + b$, квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ и так далее.
• Показательная функция $y = a^x$ (где $a > 0$, $a \ne 1$).
• Тригонометрические функции $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$.

В качестве простого примера можно выбрать любую линейную функцию, например, $y = x$ или $y = 3x - 5$.

Ответ: $y = x$.

б) Требуется придумать функцию, область определения которой — интервал $(0; +\infty)$. Это означает, что функция определена для всех положительных чисел, но не определена для нуля и отрицательных чисел.

Такую область определения имеют функции, в которых аргумент $x$ находится под знаком логарифма или под корнем в знаменателе.

• Логарифмическая функция $y = \log_a(x)$ (где $a > 0$, $a \ne 1$) определена только для положительных значений аргумента, то есть при $x > 0$.
• Функция вида $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ также подходит. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), а знаменатель не должен равняться нулю ($x \ne 0$). Совмещение этих условий дает $x > 0$.

Выберем в качестве примера натуральный логарифм.

Ответ: $y = \ln(x)$.

в) Требуется придумать функцию, область определения которой — интервал $(-\infty; 0)$. Это означает, что функция определена для всех отрицательных чисел.

Чтобы получить такую область определения, можно взять функцию с областью определения $(0; +\infty)$ и заменить в ней аргумент $x$ на $-x$.

Рассмотрим функцию $y = \ln(-x)$. Она будет определена, когда выражение под знаком логарифма положительно:

$-x > 0$

Умножив обе части неравенства на $-1$, меняем знак неравенства на противоположный:

$x < 0$

Таким образом, область определения этой функции — $(-\infty; 0)$.

Другой пример: $y = \sqrt{-x}$. Здесь область определения $x \le 0$. Чтобы исключить точку $x=0$, можно поместить корень в знаменатель: $y = \frac{1}{\sqrt{-x}}$.

Ответ: $y = \ln(-x)$.

г) Требуется придумать функцию, область определения которой — интервал $(-10; +\infty)$. Это условие можно записать в виде неравенства $x > -10$.

Перенесем $-10$ в левую часть неравенства:

$x + 10 > 0$

Теперь мы видим, что выражение $(x+10)$ должно быть строго положительным. Мы можем использовать это выражение в качестве аргумента для функции, которая требует положительный аргумент, например, логарифма.

Возьмем функцию $y = \ln(x+10)$. Она определена, когда $x+10 > 0$, то есть $x > -10$.

Аналогично можно было бы использовать функцию с корнем в знаменателе, например $y = \frac{1}{\sqrt{x+10}}$. Условие ее существования также $x+10 > 0$.

Ответ: $y = \ln(x+10)$.