Номер 8.13, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.13 a) $y = \sqrt{x^2 - 6x + 5};$

б) $y = \sqrt{-x^2 + 3x + 4};$

в) $y = \sqrt{x^2 - 5x + 6};$

г) $y = \sqrt{-2 + x + x^2}.$

Чтобы найти область определения для каждой функции, необходимо решить неравенство, в котором подкоренное выражение больше или равно нулю. Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл.

а) $y = \sqrt{x^2 - 6x + 5}$

Область определения функции задается неравенством:

$x^2 - 6x + 5 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = 6$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 5$

Отсюда находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 6x + 5$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, выражение $x^2 - 6x + 5$ принимает неотрицательные значения при $x \le 1$ и при $x \ge 5$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [5, +\infty)$.

б) $y = \sqrt{-x^2 + 3x + 4}$

Область определения функции задается неравенством:

$-x^2 + 3x + 4 \ge 0$

Найдем корни уравнения $-x^2 + 3x + 4 = 0$. Умножим уравнение на $-1$ для удобства: $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$.

$x_1 = \frac{3 - 5}{2} = -1$, $x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$.

Графиком функции $f(x) = -x^2 + 3x + 4$ является парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен). Следовательно, выражение $-x^2 + 3x + 4$ принимает неотрицательные значения на промежутке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [-1, 4]$.

в) $y = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$

Область определения функции задается неравенством:

$x^2 - 5x + 6 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета:

• $x_1 + x_2 = 5$
• $x_1 \cdot x_2 = 6$

Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 5x + 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значит, выражение $x^2 - 5x + 6$ неотрицательно, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, +\infty)$.

г) $y = \sqrt{-2 + x + x^2}$

Перепишем выражение под корнем в стандартном виде: $y = \sqrt{x^2 + x - 2}$.

Область определения функции задается неравенством:

$x^2 + x - 2 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$.

$x_1 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$, $x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$.

Графиком функции $f(x) = x^2 + x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, выражение $x^2 + x - 2$ принимает неотрицательные значения при $x \le -2$ и при $x \ge 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [1, +\infty)$.