Номер 8.8, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.8 a) $y = \frac{x^2 - 4x - 3}{x^2 - 5x + 4}$;

б) $y = \frac{x + 3}{2x^2 - 9x + 7}$;

В) $y = \frac{x - 1}{x^2 + 2x + 3}$;

Г) $y = \frac{2x^2 - 5x + 2}{3x^2 - x + 10}$.

а) $y = \frac{x^2 - 4x - 3}{x^2 - 5x + 4}$

Область определения функции задается условием, что знаменатель дроби не равен нулю. Найдем значения x, при которых знаменатель обращается в ноль.

Приравняем знаменатель к нулю: $x^2 - 5x + 4 = 0$.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2}$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_2 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Таким образом, знаменатель равен нулю при $x = 1$ и $x = 4$. Эти значения необходимо исключить из области определения функции.

Ответ: область определения функции — все действительные числа, кроме $x=1$ и $x=4$, то есть $x \in (-\infty; 1) \cup (1; 4) \cup (4; +\infty)$.

б) $y = \frac{x + 3}{2x^2 - 9x + 7}$

Область определения функции задается условием, что знаменатель дроби не равен нулю. Найдем значения x, при которых знаменатель обращается в ноль.

Приравняем знаменатель к нулю: $2x^2 - 9x + 7 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm 5}{4}$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{9 - 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

$x_2 = \frac{9 + 5}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$.

Знаменатель равен нулю при $x = 1$ и $x = \frac{7}{2}$. Эти значения необходимо исключить из области определения функции.

Ответ: область определения функции — все действительные числа, кроме $x=1$ и $x=\frac{7}{2}$, то есть $x \in (-\infty; 1) \cup (1; \frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}; +\infty)$.

в) $y = \frac{x - 1}{x^2 + 2x + 3}$

Область определения функции задается условием, что знаменатель дроби не равен нулю. Проверим, может ли знаменатель $x^2 + 2x + 3$ быть равен нулю.

Рассмотрим уравнение: $x^2 + 2x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что знаменатель $x^2 + 2x + 3$ никогда не обращается в ноль ни при каких действительных значениях x.

Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: область определения функции — множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) $y = \frac{2x^2 - 5x + 2}{3x^2 - x + 10}$

Область определения функции задается условием, что знаменатель дроби не равен нулю. Проверим, может ли знаменатель $3x^2 - x + 10$ быть равен нулю.

Рассмотрим уравнение: $3x^2 - x + 10 = 0$.

Вычислим дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 1 - 120 = -119$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что знаменатель $3x^2 - x + 10$ никогда не обращается в ноль ни при каких действительных значениях x.

Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: область определения функции — множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.