Номер 8.5, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.5 a) $y = \frac{2}{(x - 2)^2}$

б) $y = \frac{3x}{(2x + 1)^2}$

В) $y = \frac{1 - 5x}{(3 - x)^2}$

Г) $y = \frac{1}{(2 + 3x)^2}$

а) Для нахождения производной функции $y = \frac{2}{(x-2)^2}$ представим ее в виде степенной функции: $y = 2(x-2)^{-2}$. Используем правило дифференцирования сложной функции, которое для степенной функции имеет вид $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$. В данном случае, коэффициент равен 2, основание степени $u = x-2$, а показатель степени $n = -2$.
Находим производную внутренней функции: $u' = (x-2)' = 1$.
Теперь находим производную всей функции:
$y' = (2(x-2)^{-2})' = 2 \cdot (-2)(x-2)^{-2-1} \cdot (x-2)' = -4(x-2)^{-3} \cdot 1 = -\frac{4}{(x-2)^3}$.
Ответ: $y' = -\frac{4}{(x-2)^3}$.

б) Для нахождения производной функции $y = \frac{3x}{(2x+1)^2}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь числитель $u = 3x$ и знаменатель $v = (2x+1)^2$.
Находим производные числителя и знаменателя:
$u' = (3x)' = 3$.
$v' = ((2x+1)^2)'$, по правилу дифференцирования сложной функции, $v' = 2(2x+1)^{2-1} \cdot (2x+1)' = 2(2x+1) \cdot 2 = 4(2x+1)$.
Подставляем найденные значения в формулу производной частного:
$y' = \frac{3 \cdot (2x+1)^2 - 3x \cdot 4(2x+1)}{((2x+1)^2)^2} = \frac{3(2x+1)^2 - 12x(2x+1)}{(2x+1)^4}$.
Вынесем в числителе за скобки общий множитель $3(2x+1)$:
$y' = \frac{3(2x+1)((2x+1) - 4x)}{(2x+1)^4} = \frac{3(2x+1)(1-2x)}{(2x+1)^4}$.
Сокращаем дробь на $(2x+1)$:
$y' = \frac{3(1-2x)}{(2x+1)^3}$.
Ответ: $y' = \frac{3(1-2x)}{(2x+1)^3}$.

в) Для нахождения производной функции $y = \frac{1-5x}{(3-x)^2}$ снова используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u = 1-5x$ и $v = (3-x)^2$.
Находим производные $u'$ и $v'$:
$u' = (1-5x)' = -5$.
$v' = ((3-x)^2)' = 2(3-x) \cdot (3-x)' = 2(3-x) \cdot (-1) = -2(3-x)$.
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{-5 \cdot (3-x)^2 - (1-5x) \cdot (-2(3-x))}{((3-x)^2)^2} = \frac{-5(3-x)^2 + 2(1-5x)(3-x)}{(3-x)^4}$.
Выносим в числителе общий множитель $(3-x)$:
$y' = \frac{(3-x)[-5(3-x) + 2(1-5x)]}{(3-x)^4}$.
Упрощаем выражение в квадратных скобках:
$-5(3-x) + 2(1-5x) = -15 + 5x + 2 - 10x = -13 - 5x$.
Подставляем результат обратно и сокращаем дробь:
$y' = \frac{(3-x)(-13-5x)}{(3-x)^4} = \frac{-13-5x}{(3-x)^3}$.
Можно изменить знак в числителе и знаменателе для более удобной записи: $y' = \frac{-(13+5x)}{-(x-3)^3} = \frac{13+5x}{(x-3)^3}$.
Ответ: $y' = \frac{13+5x}{(x-3)^3}$.

г) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{(2+3x)^2}$ представим ее как $y = (2+3x)^{-2}$.
Используем правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$.
Здесь $u = 2+3x$, $n = -2$.
Производная внутренней функции: $u' = (2+3x)' = 3$.
Находим производную исходной функции:
$y' = ((2+3x)^{-2})' = -2(2+3x)^{-2-1} \cdot (2+3x)' = -2(2+3x)^{-3} \cdot 3 = -6(2+3x)^{-3} = -\frac{6}{(2+3x)^3}$.
Ответ: $y' = -\frac{6}{(2+3x)^3}$.