Номер 8.3, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.3 a) $y = \frac{2x}{x^2 + 1};$

б) $y = \frac{6x + 3}{2x^2 + 0.5};$

В) $y = \frac{3x - 4}{x^2 + 4};$

Г) $y = \frac{4x}{3x^2 + 2.3}.$

a) $y = \frac{2x}{x^2 + 1}$

Для нахождения области значений функции, рассмотрим $y$ как параметр и решим уравнение относительно $x$. Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как знаменатель $x^2 + 1 > 0$ при любом $x$.

Преобразуем уравнение:

$y(x^2 + 1) = 2x$

$yx^2 + y = 2x$

$yx^2 - 2x + y = 0$

Это уравнение можно рассматривать как уравнение относительно переменной $x$ с параметром $y$.

1. Если $y = 0$, уравнение принимает вид $-2x = 0$, откуда $x=0$. Следовательно, значение $y=0$ принадлежит области значений функции.

2. Если $y \neq 0$, то это полноценное квадратное уравнение. Оно имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$).

$D = (-2)^2 - 4 \cdot y \cdot y = 4 - 4y^2$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$4 - 4y^2 \ge 0$

$1 - y^2 \ge 0$

$(1 - y)(1 + y) \ge 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $y \in [-1, 1]$.

Объединяя случай $y=0$, который входит в найденный интервал, получаем, что область значений функции — это отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $[-1, 1]$.

б) $y = \frac{6x + 3}{2x^2 + 0,5}$

Область определения функции — все действительные числа, так как знаменатель $2x^2 + 0,5 > 0$ для любого $x$. Преобразуем уравнение, рассматривая его как уравнение относительно $x$ с параметром $y$:

$y(2x^2 + 0,5) = 6x + 3$

$2yx^2 + 0,5y = 6x + 3$

$2yx^2 - 6x + (0,5y - 3) = 0$

1. Если $y = 0$, уравнение становится линейным: $-6x - 3 = 0$, откуда $x = -0,5$. Значит, $y=0$ принадлежит области значений.

2. Если $y \neq 0$, это квадратное уравнение относительно $x$. Оно имеет действительные решения, если дискриминант $D \ge 0$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot (2y) \cdot (0,5y - 3) = 36 - 8y(0,5y - 3) = 36 - 4y^2 + 24y$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$-4y^2 + 24y + 36 \ge 0$

Разделим обе части на -4, изменив знак неравенства на противоположный:

$y^2 - 6y - 9 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $y^2 - 6y - 9 = 0$ с помощью формулы корней:

$y_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 36}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{72}}{2}$

Так как $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$, получаем:

$y_{1,2} = \frac{6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 3\sqrt{2}$

Парабола $f(y) = y^2 - 6y - 9$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $f(y) \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $[3 - 3\sqrt{2}, 3 + 3\sqrt{2}]$.

Это и есть область значений функции.

Ответ: $[3 - 3\sqrt{2}, 3 + 3\sqrt{2}]$.

в) $y = \frac{3x - 4}{x^2 + 4}$

Область определения функции — $x \in \mathbb{R}$, так как $x^2 + 4 > 0$ всегда. Преобразуем уравнение:

$y(x^2 + 4) = 3x - 4$

$yx^2 - 3x + (4y + 4) = 0$

1. Если $y=0$, уравнение становится линейным: $-3x+4=0$, откуда $x = 4/3$. Значит, $y=0$ входит в область значений.

2. Если $y \neq 0$, это квадратное уравнение относительно $x$, которое имеет действительные решения при $D \ge 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot y \cdot (4y + 4) = 9 - 16y^2 - 16y$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$-16y^2 - 16y + 9 \ge 0$

Умножим на -1 и сменим знак неравенства:

$16y^2 + 16y - 9 \le 0$

Найдем корни уравнения $16y^2 + 16y - 9 = 0$:

$y_{1,2} = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-9)}}{2 \cdot 16} = \frac{-16 \pm \sqrt{256 + 576}}{32} = \frac{-16 \pm \sqrt{832}}{32}$

Упростим корень: $\sqrt{832} = \sqrt{64 \cdot 13} = 8\sqrt{13}$.

$y_{1,2} = \frac{-16 \pm 8\sqrt{13}}{32} = \frac{8(-2 \pm \sqrt{13})}{32} = \frac{-2 \pm \sqrt{13}}{4}$

Ветви параболы $f(y) = 16y^2 + 16y - 9$ направлены вверх, значит, неравенство $f(y) \le 0$ выполняется между корнями.

Область значений функции — отрезок $[\frac{-2 - \sqrt{13}}{4}, \frac{-2 + \sqrt{13}}{4}]$.

Ответ: $[\frac{-2 - \sqrt{13}}{4}, \frac{-2 + \sqrt{13}}{4}]$.

г) $y = \frac{4x}{3x^2 + 2,3}$

Область определения функции — $x \in \mathbb{R}$, так как $3x^2 + 2,3 > 0$ всегда. Преобразуем уравнение:

$y(3x^2 + 2,3) = 4x$

$3yx^2 - 4x + 2,3y = 0$

1. При $y=0$ получаем $-4x=0$, то есть $x=0$. Значение $y=0$ принадлежит области значений.

2. При $y \neq 0$, уравнение является квадратным относительно $x$. Оно имеет действительные решения, если дискриминант $D \ge 0$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot (3y) \cdot (2,3y) = 16 - 12y(2,3y) = 16 - 27,6y^2$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$16 - 27,6y^2 \ge 0$

$16 \ge 27,6y^2$

$y^2 \le \frac{16}{27,6} = \frac{160}{276}$

Сократим дробь: $\frac{160}{276} = \frac{40}{69}$.

$y^2 \le \frac{40}{69}$

Это неравенство равносильно $|y| \le \sqrt{\frac{40}{69}}$, то есть $-\sqrt{\frac{40}{69}} \le y \le \sqrt{\frac{40}{69}}$.

Упростим корень: $\sqrt{\frac{40}{69}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 10}}{\sqrt{69}} = \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{69}}$. Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{69}$: $\frac{2\sqrt{10}\sqrt{69}}{69} = \frac{2\sqrt{690}}{69}$.

Таким образом, область значений функции — это отрезок $[-\frac{2\sqrt{690}}{69}, \frac{2\sqrt{690}}{69}]$.

Ответ: $[-\frac{2\sqrt{690}}{69}, \frac{2\sqrt{690}}{69}]$.