Номер 8.10, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.10 a) $y = \sqrt{x^2 + 13}$;

б) $y = \sqrt{x^2 + x^4}$;

В) $y = \sqrt{x^2 + 24}$;

Г) $y = \sqrt{2x^6 + x^2}$.

а) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{x^2 + 13}$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом). Функция является композицией двух функций: внешней $f(u) = \sqrt{u}$ и внутренней $u(x) = x^2 + 13$. Производная сложной функции, имеющей вид квадратного корня, вычисляется по формуле $(\sqrt{u(x)})' = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$.
Сначала найдем производную внутренней функции:
$u'(x) = (x^2 + 13)' = (x^2)' + (13)' = 2x + 0 = 2x$.
Теперь подставим $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу для производной корня:
$y' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 13}}$.
Сократив на 2, получаем окончательный результат:
$y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 13}}$.
Ответ: $y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 13}}$.

б) Дана функция $y = \sqrt{x^2 + x^4}$. Это сложная функция, где внутренняя функция $u(x) = x^2 + x^4$, а внешняя $f(u) = \sqrt{u}$.
Применяем правило дифференцирования сложной функции: $y' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.
Сначала найдем производную внутренней функции:
$u'(x) = (x^2 + x^4)' = (x^2)' + (x^4)' = 2x + 4x^3$.
Подставляем $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу:
$y' = \frac{2x + 4x^3}{2\sqrt{x^2 + x^4}}$.
Можно упростить выражение. Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим дробь:
$y' = \frac{2(x + 2x^3)}{2\sqrt{x^2 + x^4}} = \frac{x + 2x^3}{\sqrt{x^2 + x^4}}$.
Данное выражение определено для всех $x \neq 0$.
Ответ: $y' = \frac{x + 2x^3}{\sqrt{x^2 + x^4}}$.

в) Дана функция $y = \sqrt{x^2 + 24}$. Это сложная функция, аналогичная пункту а).
Пусть внутренняя функция $u(x) = x^2 + 24$.
Ее производная: $u'(x) = (x^2 + 24)' = 2x$.
Применяем формулу для производной квадратного корня из функции $y' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$:
$y' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 24}}$.
Сокращаем на 2:
$y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 24}}$.
Ответ: $y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 24}}$.

г) Дана функция $y = \sqrt{2x^6 + x^2}$. Это сложная функция.
Внутренняя функция $u(x) = 2x^6 + x^2$.
Ее производная: $u'(x) = (2x^6 + x^2)' = 2 \cdot 6x^5 + 2x = 12x^5 + 2x$.
Применяем формулу для производной сложной функции $y' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$:
$y' = \frac{12x^5 + 2x}{2\sqrt{2x^6 + x^2}}$.
Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим дробь:
$y' = \frac{2(6x^5 + x)}{2\sqrt{2x^6 + x^2}} = \frac{6x^5 + x}{\sqrt{2x^6 + x^2}}$.
Это выражение определено для всех $x$, для которых $2x^6 + x^2 > 0$, то есть для всех $x \neq 0$.
Ответ: $y' = \frac{6x^5 + x}{\sqrt{2x^6 + x^2}}$.