Номер 8.21, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8.21 Начертите график какой-либо функции $y = f(x)$, для которой:

а) $D(f) = [-2; 4]$, $E(f) = [-3; 3];$

б) $D(f) = (-5; 3)$, $E(f) = [2; 6);$

в) $D(f) = (0; 7)$, $E(f) = [-1; 6];$

г) $D(f) = [-4; 0]$, $E(f) = [1; 4).$

Для решения этой задачи нужно понимать, что такое область определения и область значений функции.

Область определения функции $D(f)$ — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция $y = f(x)$ определена. На графике это проекция графика на ось абсцисс (ось $Ox$).

Область значений функции $E(f)$ — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. На графике это проекция графика на ось ординат (ось $Oy$).

Квадратные скобки [ ] означают, что граничное значение включается в множество (на графике это сплошная точка). Круглые скобки ( ) означают, что граничное значение не включается (на графике это выколотая или пустая точка).

Для каждого пункта можно построить бесконечно много различных графиков. Ниже приведены примеры одних из самых простых.

Даны условия: область определения $D(f) = [-2; 4]$ и область значений $E(f) = [-3; 3]$.

Это означает, что график должен располагаться в прямоугольнике, ограниченном по горизонтали прямыми $x = -2$ и $x = 4$, а по вертикали — прямыми $y = -3$ и $y = 3$. Так как все скобки квадратные, концы отрезков включены. График должен касаться как нижней, так и верхней границы этого прямоугольника.

Можно построить график в виде ломаной линии, соединяющей три точки:

• Начальная точка на левой границе области определения, например, $(-2, 0)$.
• Точка минимума, где достигается наименьшее значение функции, например, $(1, -3)$.
• Точка максимума на правой границе области определения, где достигается наибольшее значение, например, $(4, 3)$.

Соединив эти точки отрезками, мы получим ломаную. Проверим условия:

• Проекция на ось $Ox$ — это отрезок от -2 до 4, то есть $[-2; 4]$. Условие $D(f)$ выполнено.
• Проекция на ось $Oy$ — это отрезок от минимального значения -3 до максимального 3, то есть $[-3; 3]$. Условие $E(f)$ выполнено.

Все точки на концах ($x=-2$ и $x=4$) сплошные, так как область определения — отрезок.

Ответ: Один из возможных графиков — это ломаная линия, проходящая через точки $(-2, 0)$, $(1, -3)$ и $(4, 3)$.

Даны условия: $D(f) = (-5; 3)$ и $E(f) = [2; 6)$.

Область определения — интервал, значит, на концах при $x = -5$ и $x = 3$ должны быть выколотые (пустые) точки. Область значений — полуинтервал. Это значит, что минимальное значение $y=2$ должно достигаться в какой-то точке внутри области определения, а максимальное значение $y=6$ не должно достигаться, но функция должна к нему стремиться.

Построим ломаную линию:

• Пусть функция стремится к значению 4, когда $x$ стремится к -5. Таким образом, у нас есть выколотая точка $(-5, 4)$.
• Пусть минимальное значение $y=2$ достигается при $x=0$. Это будет точка минимума $(0, 2)$.
• Пусть функция стремится к значению 6, когда $x$ стремится к 3. Таким образом, у нас есть выколотая точка $(3, 6)$.

Соединим точку $(-5, 4)$ с точкой $(0, 2)$ и точку $(0, 2)$ с точкой $(3, 6)$ отрезками. На концах ломаной будут выколотые точки.

• Проекция на ось $Ox$ — это интервал от -5 до 3, то есть $(-5; 3)$. Условие $D(f)$ выполнено.
• Минимальное значение $y=2$ достигается. Максимальное значение, к которому стремится функция, равно 6, но оно не достигается. Значит, проекция на ось $Oy$ — это полуинтервал $[2; 6)$. Условие $E(f)$ выполнено.

Ответ: Один из возможных графиков — ломаная линия с выколотыми концами в точках $(-5, 4)$ и $(3, 6)$, проходящая через точку минимума $(0, 2)$.

Даны условия: $D(f) = (0; 7)$ и $E(f) = [-1; 6]$.

Область определения — интервал $(0; 7)$, значит, на концах при $x = 0$ и $x = 7$ будут выколотые точки. Область значений — отрезок $[-1; 6]$, значит, минимальное значение $y=-1$ и максимальное значение $y=6$ должны достигаться при каких-то значениях $x$ из интервала $(0; 7)$.

Можно построить гладкую кривую, похожую на синусоиду или полином:

• Начнем с выколотой точки на левой границе, например, $(0, 2)$.
• Пусть максимальное значение $y=6$ достигается при $x=3$. Точка максимума — $(3, 6)$.
• Пусть минимальное значение $y=-1$ достигается при $x=5$. Точка минимума — $(5, -1)$.
• Закончим выколотой точкой на правой границе, например, $(7, 4)$.

Соединим эти точки плавной кривой линией. Кривая начнется в выколотой точке $(0, 2)$, поднимется до максимума в $(3, 6)$, опустится до минимума в $(5, -1)$ и закончится в выколотой точке $(7, 4)$.

• Проекция на ось $Ox$ — интервал $(0; 7)$. Условие $D(f)$ выполнено.
• Так как кривая непрерывна между точками минимума и максимума, она принимает все значения между -1 и 6. Минимальное значение -1 и максимальное 6 достигаются. Проекция на ось $Oy$ — отрезок $[-1; 6]$. Условие $E(f)$ выполнено.

Ответ: Один из возможных графиков — плавная кривая с выколотыми концами в точках $(0, 2)$ и $(7, 4)$, имеющая максимум в точке $(3, 6)$ и минимум в точке $(5, -1)$.

Даны условия: $D(f) = [-4; 0]$ и $E(f) = [1; 4)$.

Область определения — отрезок, значит, на концах при $x = -4$ и $x = 0$ должны быть сплошные точки (или, по крайней мере, функция должна быть в них определена). Область значений — полуинтервал. Минимальное значение $y=1$ достигается, а значение $y=4$ — нет, функция лишь стремится к нему.

Такая ситуация невозможна для непрерывной функции (по теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих максимума и минимума, и ее область значений тоже будет отрезком). Следовательно, функция должна иметь разрыв.

Можно построить следующий график:

• Пусть минимальное значение $y=1$ достигается на левом конце, в точке $(-4, 1)$.
• От этой точки проведем отрезок прямой линии вверх, так чтобы при $x \to 0$ значение $y \to 4$. Конечной точкой этого отрезка будет выколотая точка $(0, 4)$.
• Поскольку область определения включает $x=0$, мы должны определить значение $f(0)$. Оно должно лежать в области значений $[1; 4)$. Выберем любое значение, например, $f(0) = 2$. Это будет отдельная сплошная точка $(0, 2)$.

График состоит из отрезка прямой от точки $(-4, 1)$ до точки $(0, 4)$ (не включая ее) и отдельной точки $(0, 2)$.

• Проекция на ось $Ox$: отрезок от -4 до 0 (включая 0, так как точка $(0, 2)$ принадлежит графику). Условие $D(f) = [-4; 0]$ выполнено.
• Проекция на ось $Oy$: значения на отрезке прямой изменяются от 1 (включительно) до 4 (не включительно). Точка $(0, 2)$ дает значение $y=2$, которое уже входит в полуинтервал $[1; 4)$. Таким образом, область значений — $[1; 4)$. Условие $E(f)$ выполнено.

Ответ: Один из возможных графиков — это отрезок прямой, соединяющий точки $(-4, 1)$ и $(0, 4)$, с выколотой точкой на правом конце, и отдельно стоящая точка $(0, 2)$.