Номер 9.3, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

9.3 а) Рис. 21;

Рис. 21

б) рис. 22;

Рис. 22

в) рис. 23;

Рис. 23

г) рис. 24.

Рис. 24

а) Рис. 21

На рисунке 21 изображен график линейной функции вида $y = kx + b$.

1. Найдем коэффициент $b$. Это ордината точки пересечения графика с осью $y$. Из графика видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке $(0; 2)$, следовательно, $b = 2$.

2. Найдем угловой коэффициент $k$. Он равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси $x$. Для его вычисления возьмем две точки, через которые проходит прямая, например, $(0; 2)$ и $(-2; 0)$.

Формула для коэффициента $k$: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 0}{0 - (-2)} = \frac{2}{2} = 1$.

3. Подставим найденные значения $k=1$ и $b=2$ в уравнение прямой: $y = 1 \cdot x + 2$, или $y = x + 2$.

Ответ: $y = x + 2$.

б) Рис. 22

На рисунке 22 изображен график функции, содержащей модуль. Общий вид такой функции $y = a|x - h| + k$, где $(h; k)$ — координаты вершины.

1. Из графика определяем координаты вершины. Вершина находится в точке $(0; -2)$. Таким образом, $h = 0$ и $k = -2$.

Уравнение принимает вид: $y = a|x - 0| - 2$, или $y = a|x| - 2$.

2. Для нахождения коэффициента $a$ выберем на графике любую другую точку, не совпадающую с вершиной. Например, точку $(1; 0)$.

Подставим координаты этой точки в уравнение: $0 = a|1| - 2$
$0 = a - 2$
$a = 2$.

3. Подставив $a=2$, получаем итоговое уравнение: $y = 2|x| - 2$.

Проверим для точки на левой ветви, например, $(-1; 0)$: $y = 2|-1| - 2 = 2 \cdot 1 - 2 = 0$. Равенство верно.

Ответ: $y = 2|x| - 2$.

в) Рис. 23

На рисунке 23 изображена фигура (квадрат), которая задается уравнением с двумя модулями. Общий вид уравнения для квадрата с центром в начале координат и вершинами на осях: $|x| + |y| = a$, где $a > 0$.

Вершины данного квадрата находятся в точках $(2; 0)$, $(0; 2)$, $(-2; 0)$ и $(0; -2)$.

Значение $a$ в уравнении $|x| + |y| = a$ равно модулю координат точек пересечения с осями. В данном случае это значение равно 2. Следовательно, $a=2$.

Таким образом, уравнение, описывающее данную фигуру, имеет вид: $|x| + |y| = 2$.

Эту фигуру также можно описать как объединение графиков двух функций: Верхняя часть: $y = -|x| + 2$, при $-2 \le x \le 2$. Нижняя часть: $y = |x| - 2$, при $-2 \le x \le 2$. Объединение этих условий приводит к уравнению $|y| = -|x| + 2$, что эквивалентно $|x| + |y| = 2$.

Ответ: $|x| + |y| = 2$.

г) Рис. 24

На рисунке 24 изображен график кусочно-заданной функции, состоящей из трех частей.

1. При $x \le -2$ график представляет собой горизонтальный луч, проходящий через ординату $y = -2$. Уравнение этой части: $y = -2$.

2. При $-2 \le x \le 2$ график представляет собой отрезок прямой, проходящий через точки $(-2; -2)$ и $(2; 2)$. Найдем уравнение этой прямой $y = kx + b$. Угловой коэффициент: $k = \frac{2 - (-2)}{2 - (-2)} = \frac{4}{4} = 1$. Так как прямая проходит через начало координат $(0; 0)$, то $b=0$. Уравнение этой части: $y = x$.

3. При $x \ge 2$ график представляет собой горизонтальный луч, проходящий через ординату $y = 2$. Уравнение этой части: $y = 2$.

Объединяя все три части, получаем кусочно-заданную функцию: $y = \begin{cases} -2, & \text{если } x < -2 \\ x, & \text{если } -2 \le x \le 2 \\ 2, & \text{если } x > 2 \end{cases}$
(Границы интервалов $x=-2$ и $x=2$ можно включать в соседние промежутки, так как функция непрерывна в этих точках).

Ответ: $y = \begin{cases} -2, & \text{если } x < -2 \\ x, & \text{если } -2 \le x \le 2 \\ 2, & \text{если } x > 2 \end{cases}$.