Номер 3, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Вариант 2. Домашняя контрольная работа № 2. Глава 2. Системы уравнений. ч. 2 - номер 3, страница 49.

3 Решите графически:

а) систему уравнений

$$ \begin{cases} x^2 + y = 3, \\ y - x + 3 = 0; \end{cases} $$

б) систему неравенств

$$ \begin{cases} x^2 + y \le 3, \\ y - x + 3 \ge 0. \end{cases} $$

а) систему уравнений

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точек пересечения этих графиков будут являться решением системы.

Первое уравнение: $x^2 + y = 3$. Преобразуем его к виду $y = -x^2 + 3$. Это уравнение задает параболу.
- Коэффициент при $x^2$ отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
- Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$.

Второе уравнение: $y - x + 3 = 0$. Преобразуем его к виду $y = x - 3$. Это уравнение задает прямую линию. Для построения прямой достаточно двух точек, например:
- если $x = 0$, то $y = -3$. Точка $(0, -3)$.
- если $x = 3$, то $y = 0$. Точка $(3, 0)$.

Построим графики параболы $y = -x^2 + 3$ и прямой $y = x - 3$ в одной системе координат. Графики пересекаются в двух точках, координаты которых и являются решением системы уравнений.

Из графика видно, что точки пересечения — это $(-3, -6)$ и $(2, -1)$.

Проверим найденные решения, подставив их в исходную систему:

Для точки $(-3, -6)$:
$(-3)^2 + (-6) = 9 - 6 = 3$ (Верно)
$(-6) - (-3) + 3 = -6 + 3 + 3 = 0$ (Верно)

Для точки $(2, -1)$:
$(2)^2 + (-1) = 4 - 1 = 3$ (Верно)
$(-1) - 2 + 3 = -3 + 3 = 0$ (Верно)

Ответ: $(-3, -6)$, $(2, -1)$.

б) систему неравенств

Для графического решения системы неравенств нужно найти на координатной плоскости область, точки которой удовлетворяют каждому из неравенств. Эта область является пересечением множеств решений каждого неравенства.

Первое неравенство: $x^2 + y \le 3$, или $y \le -x^2 + 3$. Решением этого неравенства является множество точек, лежащих на параболе $y = -x^2 + 3$ и ниже неё.

Второе неравенство: $y - x + 3 \ge 0$, или $y \ge x - 3$. Решением этого неравенства является множество точек, лежащих на прямой $y = x - 3$ и выше неё.

Решением системы неравенств является пересечение этих двух областей. Это замкнутая фигура, ограниченная сверху дугой параболы $y = -x^2 + 3$ и снизу отрезком прямой $y = x - 3$. Границы (парабола и прямая) включаются в решение, так как неравенства нестрогие ($\le$ и $\ge$). Точки пересечения границ, найденные в пункте а), — это $(-3, -6)$ и $(2, -1)$.

Ответ: Искомое множество точек — это область на координатной плоскости, ограниченная сверху параболой $y = -x^2 + 3$ и снизу прямой $y = x - 3$, включая сами границы.