Номер 9, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

9 Два каменщика выполнили вместе некоторую работу за 12 ч. Если бы сначала первый каменщик сделал половину этой работы, а затем другой — остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 ч. За какое время мог бы выполнить эту работу каждый каменщик в отдельности?

Пусть $t_1$ — это время в часах, за которое первый каменщик выполнит всю работу самостоятельно, а $t_2$ — время в часах, за которое второй каменщик выполнит всю работу самостоятельно. Примем всю работу за 1 единицу.

Тогда производительность первого каменщика равна $v_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть работы в час), а производительность второго — $v_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть работы в час).

Из условия задачи составим систему уравнений.

1. Два каменщика вместе выполнили работу за 12 часов. Их совместная производительность равна $v_1 + v_2$. За 12 часов они выполняют всю работу, что можно выразить уравнением:
$(v_1 + v_2) \cdot 12 = 1$
Подставив выражения для производительностей, получаем первое уравнение системы:
$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12}$

2. Если бы сначала первый каменщик сделал половину работы, а затем второй — остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 часов.
Время, которое первый каменщик потратит на половину работы (т.е. на $\frac{1}{2}$ работы), составляет $\frac{1/2}{v_1} = \frac{t_1}{2}$ часов.
Время, которое второй каменщик потратит на вторую половину работы, составляет $\frac{1/2}{v_2} = \frac{t_2}{2}$ часов.
Суммарное время выполнения работы в этом случае равно 25 часам, что дает нам второе уравнение:
$\frac{t_1}{2} + \frac{t_2}{2} = 25$
Умножив обе части на 2, получим:
$t_1 + t_2 = 50$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:$$\begin{cases}\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12} \\t_1 + t_2 = 50\end{cases}$$

Выразим $t_2$ из второго уравнения: $t_2 = 50 - t_1$.

Подставим это выражение в первое уравнение:
$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{50 - t_1} = \frac{1}{12}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $t_1(50 - t_1)$:
$\frac{(50 - t_1) + t_1}{t_1(50 - t_1)} = \frac{1}{12}$
$\frac{50}{50t_1 - t_1^2} = \frac{1}{12}$

Используя свойство пропорции, получим:
$50 \cdot 12 = 50t_1 - t_1^2$
$600 = 50t_1 - t_1^2$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $at^2+bt+c=0$:
$t_1^2 - 50t_1 + 600 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, сумма корней равна 50, а их произведение равно 600. Легко подобрать корни: 20 и 30 ($20+30=50$, $20 \cdot 30=600$).
Или через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 2500 - 2400 = 100$
$t_{1} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{50 \pm 10}{2}$
Получаем два возможных значения для $t_1$:
$t_{1,1} = \frac{50 + 10}{2} = 30$
$t_{1,2} = \frac{50 - 10}{2} = 20$

Теперь найдем соответствующие значения для $t_2$ используя уравнение $t_2 = 50 - t_1$:
1. Если $t_1 = 30$, то $t_2 = 50 - 30 = 20$.
2. Если $t_1 = 20$, то $t_2 = 50 - 20 = 30$.

В обоих случаях мы получаем, что время выполнения работы одним каменщиком составляет 20 часов, а другим — 30 часов.

Ответ: один каменщик мог бы выполнить всю работу за 20 часов, а другой — за 30 часов.