Номер 4, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4 Решите методом подстановки систему уравнений

$\begin{cases} x^2 - 3y^2 = 4, \\ x + y = 6. \end{cases}$

Данная система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - 3y^2 = 4 \\ x + y = 6 \end{cases} $$

Для решения системы методом подстановки, выразим одну из переменных из второго уравнения. Второе уравнение ($x + y = 6$) является линейным, поэтому из него удобно выразить одну переменную через другую.

Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 6 - y$

Теперь подставим это выражение вместо $x$ в первое уравнение системы:

$(6 - y)^2 - 3y^2 = 4$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$36 - 12y + y^2 - 3y^2 = 4$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$-2y^2 - 12y + 36 = 4$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$:

$-2y^2 - 12y + 36 - 4 = 0$

$-2y^2 - 12y + 32 = 0$

Для удобства решения разделим все члены уравнения на $-2$:

$y^2 + 6y - 16 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Мы нашли два возможных значения для $y$. Теперь для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя подстановку $x = 6 - y$.

1. Для $y_1 = 2$:

$x_1 = 6 - y_1 = 6 - 2 = 4$

Таким образом, первая пара решений: $(4; 2)$.

2. Для $y_2 = -8$:

$x_2 = 6 - y_2 = 6 - (-8) = 6 + 8 = 14$

Таким образом, вторая пара решений: $(14; -8)$.

Проверим найденные решения, подставив их в исходную систему уравнений.

Проверка для $(4; 2)$:

$4^2 - 3(2^2) = 16 - 3(4) = 16 - 12 = 4$ (верно)

$4 + 2 = 6$ (верно)

Проверка для $(14; -8)$:

$14^2 - 3(-8)^2 = 196 - 3(64) = 196 - 192 = 4$ (верно)

$14 + (-8) = 6$ (верно)

Оба решения удовлетворяют системе уравнений.

Ответ: $(4; 2)$, $(14; -8)$.