Номер 7.54, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.54 Имеются два раствора соли в воде, первый — $40\%$-ный, второй — $60\%$-ный. Их смешали, добавили 5 л воды и получили $20\%$-ный раствор. Если бы вместо 5 л воды добавили 5 л $80\%$-ного раствора соли, то получился бы $70\%$-ный раствор. Сколько было $40\%$-ного и сколько $60\%$-ного раствора?

Обозначим за $x$ объем (в литрах) 40%-ного раствора и за $y$ — объем (в литрах) 60%-ного раствора. Тогда количество соли в первом растворе составляет $0.4x$ л, а во втором — $0.6y$ л.

Первое условие

Когда растворы смешали и добавили 5 л воды, общий объем стал $(x + y + 5)$ л, а количество соли осталось прежним: $(0.4x + 0.6y)$ л. Концентрация полученного 20%-ного раствора описывается уравнением: $ \frac{0.4x + 0.6y}{x + y + 5} = 0.2 $.
Последовательно упростим это уравнение:
$ 0.4x + 0.6y = 0.2(x + y + 5) $
$ 0.4x + 0.6y = 0.2x + 0.2y + 1 $
$ 0.2x + 0.4y = 1 $

Второе условие

Если бы вместо воды добавили 5 л 80%-ного раствора, объем смеси также был бы $(x + y + 5)$ л. Количество соли в добавленном растворе: $5 \cdot 0.8 = 4$ л. Общее количество соли в итоговой смеси: $(0.4x + 0.6y + 4)$ л. Концентрация 70%-ного раствора описывается уравнением: $ \frac{0.4x + 0.6y + 4}{x + y + 5} = 0.7 $.
Упростим это уравнение:
$ 0.4x + 0.6y + 4 = 0.7(x + y + 5) $
$ 0.4x + 0.6y + 4 = 0.7x + 0.7y + 3.5 $
$ 4 - 3.5 = 0.7x - 0.4x + 0.7y - 0.6y $
$ 0.5 = 0.3x + 0.1y $
Умножив на 10, получим: $ 5 = 3x + y $.

Решение системы уравнений

Получили систему из двух уравнений:
1) $ 0.2x + 0.4y = 1 $
2) $ 3x + y = 5 $
Из второго уравнения выражаем $y$: $y = 5 - 3x$.
Подставляем это выражение в первое уравнение:
$ 0.2x + 0.4(5 - 3x) = 1 $
Раскрываем скобки и решаем уравнение:
$ 0.2x + 2 - 1.2x = 1 $
$ 2 - x = 1 $
$ x = 1 $
Теперь находим $y$, подставив значение $x$ в выражение для $y$:
$ y = 5 - 3(1) = 2 $

Таким образом, первоначально было 1 л 40%-ного раствора и 2 л 60%-ного раствора.

Ответ: было 1 л 40%-ного раствора и 2 л 60%-ного раствора.