Номер 7.50, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.50 У старшего брата было вдвое больше денег, чем у младшего. Они положили свои деньги на год на счета в разные банки, причём младший брат нашёл банк, который даёт на 5% годовых больше, чем банк, в который обратился старший брат. Сняв свои деньги со счетов через год, старший брат получил 4600 р., а младший — 2400 р. Сколько денег было бы у братьев в сумме, если бы они с самого начала поменяли свои банки?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это первоначальная сумма денег младшего брата в рублях. Согласно условию, у старшего брата было вдвое больше денег, то есть $2x$ рублей.

Пусть $y$ — годовая процентная ставка в банке старшего брата, выраженная в виде десятичной дроби (например, 10% это 0.1). Тогда процентная ставка в банке младшего брата, которая на 5% больше, будет равна $y + 0.05$.

Сумма на счете через год рассчитывается по формуле $S = S_0 \cdot (1 + p)$, где $S_0$ — начальный вклад, а $p$ — годовая процентная ставка.

Основываясь на данных задачи, составим систему из двух уравнений:

1. Для старшего брата: его начальный вклад $2x$ под процент $y$ через год превратился в 4600 р.

$2x \cdot (1 + y) = 4600$

2. Для младшего брата: его начальный вклад $x$ под процент $y+0.05$ через год превратился в 2400 р.

$x \cdot (1 + y + 0.05) = 2400$

Теперь решим эту систему уравнений. Из второго уравнения выразим $x$:

$x = \frac{2400}{1.05 + y}$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$2 \cdot \left(\frac{2400}{1.05 + y}\right) \cdot (1 + y) = 4600$

Упростим полученное уравнение:

$\frac{4800 \cdot (1 + y)}{1.05 + y} = 4600$

Разделим обе части уравнения на 100, чтобы упростить вычисления:

$\frac{48 \cdot (1 + y)}{1.05 + y} = 46$

Теперь умножим обе части на $(1.05 + y)$:

$48 \cdot (1 + y) = 46 \cdot (1.05 + y)$

$48 + 48y = 48.3 + 46y$

Соберем слагаемые с $y$ в левой части, а свободные члены — в правой:

$48y - 46y = 48.3 - 48$

$2y = 0.3$

$y = 0.15$

Таким образом, процентная ставка в банке старшего брата составляла 15% годовых. Процентная ставка в банке младшего брата была $y + 0.05 = 0.15 + 0.05 = 0.20$, то есть 20% годовых.

Теперь найдем первоначальные суммы денег. Подставим значение $y = 0.15$ в выражение для $x$:

$x = \frac{2400}{1.05 + 0.15} = \frac{2400}{1.20} = 2000$ рублей.

Это была сумма младшего брата. Сумма старшего брата была $2x = 2 \cdot 2000 = 4000$ рублей.

Теперь ответим на главный вопрос задачи: сколько денег было бы у братьев в сумме, если бы они с самого начала поменяли свои банки?

В этом гипотетическом сценарии:

• Старший брат положил бы свои 4000 р. в банк с процентной ставкой 20% (0.20). Через год у него было бы:

$4000 \cdot (1 + 0.20) = 4000 \cdot 1.2 = 4800$ рублей.

• Младший брат положил бы свои 2000 р. в банк с процентной ставкой 15% (0.15). Через год у него было бы:

$2000 \cdot (1 + 0.15) = 2000 \cdot 1.15 = 2300$ рублей.

Суммарная сумма денег у братьев составила бы:

$4800 + 2300 = 7100$ рублей.

Ответ: 7100 р.