Номер 7.47, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.47 В бассейне проведены две трубы разного сечения. Одна равномерно подаёт, а вторая равномерно отводит воду, причём через первую бассейн наполняется на 2 ч дольше, чем через вторую опорожняется. При заполненном на $\frac{1}{3}$ бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым спустя 8 ч. За сколько часов, действуя отдельно, первая труба наполняет, а вторая опорожняет бассейн?

Для решения задачи введем переменные. Пусть весь объем бассейна равен 1.

Обозначим за $x$ время (в часах), за которое первая труба полностью наполняет бассейн, а за $y$ — время (в часах), за которое вторая труба полностью его опорожняет.

Тогда производительность (скорость работы) первой трубы равна $\frac{1}{x}$ бассейна/час, а производительность второй трубы — $\frac{1}{y}$ бассейна/час.

Согласно первому условию, первая труба наполняет бассейн на 2 часа дольше, чем вторая его опорожняет. На основе этого составим первое уравнение:
$x = y + 2$

Согласно второму условию, когда бассейн был заполнен на $\frac{1}{3}$, были открыты обе трубы, и через 8 часов он опустел. Это означает, что производительность второй (опорожняющей) трубы больше, чем производительность первой (наполняющей). Совместная производительность труб при опорожнении бассейна равна разности их производительностей:
$v_{совм} = \frac{1}{y} - \frac{1}{x}$

За 8 часов совместной работы был слит объем воды, равный $\frac{1}{3}$ бассейна. Используя формулу "Объем = Производительность × Время", составим второе уравнение:
$(\frac{1}{y} - \frac{1}{x}) \cdot 8 = \frac{1}{3}$

Разделив обе части на 8, получим:
$\frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{24}$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x = y + 2 \\ \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{24} \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$\frac{1}{y} - \frac{1}{y+2} = \frac{1}{24}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $y(y+2)$:
$\frac{(y+2) - y}{y(y+2)} = \frac{1}{24}$
$\frac{2}{y(y+2)} = \frac{1}{24}$

Используя свойство пропорции, получаем:
$y(y+2) = 2 \cdot 24$
$y^2 + 2y = 48$
$y^2 + 2y - 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-48$. Этим условиям удовлетворяют числа $6$ и $-8$.
$y_1 = 6$, $y_2 = -8$.

Поскольку время $y$ по смыслу задачи не может быть отрицательной величиной, единственным решением является $y=6$.
Следовательно, вторая труба опорожняет бассейн за 6 часов.

Теперь найдем время $x$, за которое первая труба наполняет бассейн:
$x = y + 2 = 6 + 2 = 8$
Следовательно, первая труба наполняет бассейн за 8 часов.

Ответ: первая труба наполняет бассейн за 8 часов, а вторая опорожняет его за 6 часов.