Номер 7.40, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.40 По окружности длиной 60 м равномерно в одном направлении движутся две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее другой. При этом совпадение точек происходит каждый раз через 1 мин. Определите скорости движения точек.

Пусть $L$ — длина окружности, $v_1$ и $v_2$ — скорости точек, а $T_1$ и $T_2$ — их периоды обращения. По условию, $L = 60$ м. Пусть $v_1 > v_2$, тогда первая точка совершает оборот быстрее, то есть ее период $T_1$ меньше периода $T_2$.

Скорость точки, движущейся по окружности, связана с ее периодом и длиной окружности соотношением $v = L/T$. Таким образом, для наших точек имеем $v_1 = L/T_1$ и $v_2 = L/T_2$.

Из условия задачи известно, что одна точка совершает полный оборот на 5 секунд быстрее другой, что можно записать как:

$T_2 - T_1 = 5 \text{ с}$, или $T_2 = T_1 + 5 \text{ с}$.

Также дано, что совпадение (встреча) точек происходит каждый раз через 1 минуту. Переведем это время в секунды: $t_{встр} = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$.

Поскольку точки движутся в одном направлении, их встреча происходит, когда более быстрая точка обгоняет более медленную на целый круг. За время $t_{встр}$ первая точка проходит расстояние $s_1 = v_1 t_{встр}$, а вторая — $s_2 = v_2 t_{встр}$. Условие встречи имеет вид:

$s_1 - s_2 = L$

$(v_1 - v_2)t_{встр} = L$

Подставим в это уравнение выражения для скоростей через периоды:

$(\frac{L}{T_1} - \frac{L}{T_2})t_{встр} = L$

Разделим обе части на $L$ (так как $L \neq 0$):

$(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2})t_{встр} = 1$

Приведем разность дробей к общему знаменателю:

$\frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} t_{встр} = 1$

Теперь подставим известные значения $T_2 - T_1 = 5$ с и $t_{встр} = 60$ с:

$\frac{5}{T_1 T_2} \cdot 60 = 1$

$\frac{300}{T_1 T_2} = 1 \implies T_1 T_2 = 300$

Мы получили систему из двух уравнений для нахождения периодов $T_1$ и $T_2$: $T_2 = T_1 + 5$ и $T_1 T_2 = 300$. Подставим выражение для $T_2$ из первого уравнения во второе:

$T_1 (T_1 + 5) = 300$

Раскрыв скобки, получим квадратное уравнение:

$T_1^2 + 5T_1 - 300 = 0$

Решим это уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = 35$.

Находим корни уравнения для $T_1$:

$T_{1,1} = \frac{-5 + 35}{2} = 15$

$T_{1,2} = \frac{-5 - 35}{2} = -20$

Так как период обращения не может быть отрицательной величиной, физический смысл имеет только первый корень: $T_1 = 15$ с.

Теперь найдем период второй точки:

$T_2 = T_1 + 5 = 15 + 5 = 20$ с.

Зная периоды и длину окружности ($L = 60$ м), можем найти скорости точек:

$v_1 = \frac{L}{T_1} = \frac{60 \text{ м}}{15 \text{ с}} = 4$ м/с.

$v_2 = \frac{L}{T_2} = \frac{60 \text{ м}}{20 \text{ с}} = 3$ м/с.

Ответ: скорости движения точек равны 4 м/с и 3 м/с.