Номер 7.36, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.36 Из пункта А в одном и том же направлении вышли два лыжника, причём второй стартовал на 6 мин позже первого и догнал первого в 3 км от старта. Дойдя до отметки 5 км, второй лыжник повернул обратно и встретил первого в 4,6 км от старта. Найдите скорости лыжников.

Пусть $v_1$ (км/ч) – скорость первого лыжника, а $v_2$ (км/ч) – скорость второго лыжника.

Второй лыжник стартовал на 6 минут позже первого. Выразим эту разницу во времени в часах:
$6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = 0,1 \text{ ч}$.

Первая встреча лыжников произошла на расстоянии 3 км от старта. К этому моменту первый лыжник был в пути $t_1 = \frac{3}{v_1}$ часа, а второй – $t_2 = \frac{3}{v_2}$ часа. Так как второй лыжник стартовал позже, его время в пути было на 0,1 часа меньше. Составим первое уравнение:
$\frac{3}{v_1} - \frac{3}{v_2} = 0,1$

Дойдя до отметки 5 км, второй лыжник повернул обратно и встретил первого на расстоянии 4,6 км от старта. К моменту второй встречи:
- Первый лыжник прошел 4,6 км. Его общее время в пути с момента старта составило $T_1 = \frac{4,6}{v_1}$ часа.
- Второй лыжник к этому моменту прошел 5 км вперед и $5 - 4,6 = 0,4$ км назад. Общий пройденный им путь равен $5 + 0,4 = 5,4$ км. Его общее время в пути составило $T_2 = \frac{5,4}{v_2}$ часа.
С момента старта первого лыжника прошло на 0,1 часа больше, чем с момента старта второго. Составим второе уравнение:
$\frac{4,6}{v_1} - \frac{5,4}{v_2} = 0,1$

Получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} \frac{3}{v_1} - \frac{3}{v_2} = 0,1 \\ \frac{4,6}{v_1} - \frac{5,4}{v_2} = 0,1 \end{cases}$

Поскольку правые части уравнений равны, можем приравнять их левые части:
$\frac{3}{v_1} - \frac{3}{v_2} = \frac{4,6}{v_1} - \frac{5,4}{v_2}$
Перенесем слагаемые с $v_1$ в одну сторону, а с $v_2$ в другую:
$\frac{5,4}{v_2} - \frac{3}{v_2} = \frac{4,6}{v_1} - \frac{3}{v_1}$
$\frac{2,4}{v_2} = \frac{1,6}{v_1}$
Отсюда находим соотношение между скоростями:
$2,4 \cdot v_1 = 1,6 \cdot v_2$
$v_2 = \frac{2,4}{1,6} v_1 = 1,5 v_1$

Подставим полученное выражение для $v_2$ в первое уравнение системы:
$\frac{3}{v_1} - \frac{3}{1,5 v_1} = 0,1$
$\frac{3}{v_1} - \frac{2}{v_1} = 0,1$
$\frac{1}{v_1} = 0,1$
$v_1 = \frac{1}{0,1} = 10$ (км/ч).

Теперь найдем скорость второго лыжника:
$v_2 = 1,5 \cdot v_1 = 1,5 \cdot 10 = 15$ (км/ч).

Ответ: скорость первого лыжника 10 км/ч, скорость второго лыжника 15 км/ч.