Номер 7.29, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.29 Если задуманное двузначное число умножить на цифру его единиц, то получится $376$, а если из задуманного числа вычесть двузначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится $45$. Какое число задумано?

Пусть задуманное двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. При этом $a$ может быть любым целым числом от 1 до 9, а $b$ — от 0 до 9.

Согласно условию задачи, у нас есть два утверждения, которые можно записать в виде системы уравнений.

1. Если задуманное двузначное число умножить на цифру его единиц, то получится 376.
Математически это выглядит так:
$(10a + b) \cdot b = 376$

2. Если из задуманного числа вычесть двузначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится 45.
Число, записанное в обратном порядке, — это $10b + a$.
Математически это выглядит так:
$(10a + b) - (10b + a) = 45$

Начнем с решения второго уравнения, так как оно проще.
$(10a + b) - (10b + a) = 45$
$10a + b - 10b - a = 45$
$9a - 9b = 45$
Разделим обе части уравнения на 9:
$a - b = 5$
Отсюда мы можем выразить $a$ через $b$:
$a = b + 5$

Теперь подставим это выражение для $a$ в первое уравнение:
$(10(b + 5) + b) \cdot b = 376$
$(10b + 50 + b) \cdot b = 376$
$(11b + 50) \cdot b = 376$

Из первого уравнения $(10a + b) \cdot b = 376$ следует, что $b$ должно быть делителем числа 376. Найдем все однозначные делители числа 376.
Разложим 376 на простые множители: $376 = 2 \cdot 188 = 2 \cdot 2 \cdot 94 = 2^3 \cdot 47$.
Однозначные делители числа 376: 1, 2, 4, 8. (Заметим, что $b \neq 0$, так как произведение не равно нулю).

Теперь проверим каждое возможное значение $b$, используя найденное ранее соотношение $a = b + 5$.

• Если $b = 1$, то $a = 1 + 5 = 6$. Задуманное число — 61. Проверим по первому условию: $61 \cdot 1 = 61 \neq 376$. Этот вариант не подходит.
• Если $b = 2$, то $a = 2 + 5 = 7$. Задуманное число — 72. Проверим по первому условию: $72 \cdot 2 = 144 \neq 376$. Этот вариант не подходит.
• Если $b = 4$, то $a = 4 + 5 = 9$. Задуманное число — 94. Проверим по первому условию: $94 \cdot 4 = 376$. Это верно. Проверим и второе условие: $94 - 49 = 45$. Это тоже верно. Этот вариант подходит.
• Если $b = 8$, то $a = 8 + 5 = 13$. Значение $a$ должно быть однозначным числом, поэтому этот вариант невозможен.

Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям, — это 94.
Ответ: 94