Номер 7.28, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.28 Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число.

Пусть искомое двузначное число состоит из цифры десятков $x$ и цифры единиц $y$. Тогда значение этого числа можно записать как $10x + y$. Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь значение $10y + x$. При этом $x$ и $y$ — это целые числа от 0 до 9, и так как число двузначное, $x \neq 0$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: "Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13". Запишем это в виде уравнения:
$x^2 + y^2 = 13$

Второе условие: "Если от этого числа отнять 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке". Запишем это в виде второго уравнения:
$(10x + y) - 9 = 10y + x$

Теперь необходимо решить полученную систему уравнений. Начнем с упрощения второго уравнения:
$10x - x + y - 10y = 9$
$9x - 9y = 9$
Разделив обе части уравнения на 9, получим:
$x - y = 1$
Из этого уравнения выразим $x$:
$x = y + 1$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$(y + 1)^2 + y^2 = 13$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y^2 + 2y + 1 + y^2 = 13$
$2y^2 + 2y + 1 - 13 = 0$
$2y^2 + 2y - 12 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$y^2 + y - 6 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-6$. Этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $-3$.
$y_1 = 2$, $y_2 = -3$.

Поскольку $y$ обозначает цифру, она не может быть отрицательной. Значит, корень $y_2 = -3$ не является решением задачи. Единственное подходящее значение — это $y = 2$.

Теперь найдем соответствующее значение $x$, используя соотношение $x = y + 1$:
$x = 2 + 1 = 3$

Таким образом, цифра десятков искомого числа равна 3, а цифра единиц — 2. Искомое число — 32.

Выполним проверку:
1. Сумма квадратов цифр: $3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$. Первое условие выполнено.
2. Разность числа и 9: $32 - 9 = 23$. Число 23 — это число 32 с переставленными цифрами. Второе условие выполнено.

Ответ: 32