Номер 7.22, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.22 Две бригады, работая вместе, могут выполнить задание за 8 ч. Первая бригада, работая одна, могла бы выполнить задание на 12 ч быстрее, чем вторая бригада. За сколько часов могла бы выполнить задание первая бригада, если бы она работала одна?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество часов, за которое первая бригада может выполнить все задание, работая в одиночку. По условию, первая бригада выполняет задание на 12 часов быстрее, чем вторая. Это означает, что второй бригаде для выполнения того же задания потребуется $(x + 12)$ часов.

Производительность труда — это часть работы, выполняемая за единицу времени. Если принять всю работу за 1, то:

• Производительность первой бригады равна $\frac{1}{x}$ (часть задания в час).
• Производительность второй бригады равна $\frac{1}{x+12}$ (часть задания в час).

Когда бригады работают вместе, их производительности складываются. Таким образом, их совместная производительность составляет: $P_{общ} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+12}$

Из условия известно, что, работая вместе, они выполняют задание за 8 часов. Это значит, что их совместная производительность равна $\frac{1}{8}$ часть задания в час. Приравняем два выражения для совместной производительности и получим уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+12} = \frac{1}{8}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+12)$:

$\frac{x+12+x}{x(x+12)} = \frac{1}{8}$

$\frac{2x+12}{x^2+12x} = \frac{1}{8}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестным умножением):

$8(2x+12) = 1(x^2+12x)$

$16x + 96 = x^2 + 12x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 12x - 16x - 96 = 0$

$x^2 - 4x - 96 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать формулу корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400$

Корни уравнения находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4+20}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4-20}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Поскольку $x$ представляет собой время, оно не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -8$ не является решением задачи. Единственный подходящий корень — $x=12$.

Таким образом, первая бригада, работая одна, могла бы выполнить задание за 12 часов.

Ответ: 12 часов.